Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 159

1. Nội dung câu hỏi

Kết quả kiểm tra cân nặng của một số quả trứng chim cút được lựa chọn ngẫu nhiên ở hai trang trại chăn nuôi A và B được biểu diễn ở biểu đồ sau (đơn vị: g).

a) Hãy so sánh cân nặng của trứng chim cút của hai trang trại A và B theo số trung bình và trung vị.

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của cân nặng trứng chim cút của trang trại A.

2. Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để so sánh:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính như sau: \(\overline x  = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}\), trong đó \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,

\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\)

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)

3. Lời giải chi tiết 

a) Từ biểu đồ đã cho, ta có bảng số liệu ghép nhóm:

Từ đó, ta có bảng thống kê số quả trứng chim cút của hai trang trại theo giá trị đại diện như sau:

Đối với trang trại A: Cỡ mẫu: \({n_A} = 89\)

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng là: \(\overline {{x_A}}  = \frac{{8,3.7 + 8,5.18 + 8,7.34 + 8,9.21 + 9,1.9}}{{89}} = \frac{{7\;757}}{{890}}\)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{89}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_7} \in \left[ {8,2;8,4} \right),{x_8},...,{x_{25}} \in \left[ {8,4;8,6} \right),{x_{26}},...,{x_{59}} \in \left[ {8,6;8,8} \right),\)\({x_{60}},...,{x_{80}} \in \left[ {8,8;9,0} \right),{x_{81}},...,{x_{89}} \in \left[ {9,0;9,2} \right)\)

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên trung vị \({M_e}\left( A \right) = {x_{45}} \in \left[ {8,6;8,8} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e}\left( A \right) = 8,6 + \frac{{\frac{{89}}{2} - \left( {7 + 18} \right)}}{{34}}.\left( {8,8 - 8,6} \right) = \frac{{2\;963}}{{340}}\) (g)

Đối với trang trại B: Cỡ mẫu: \({n_B} = 73\)

Cân nặng trung bình của mỗi quả trứng là:

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{8,3.15 + 8,5.37 + 8,7.12 + 8,9.7 + 9,1.2}}{{73}} = \frac{{6\;239}}{{730}}\) (g)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{73}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_{15}} \in \left[ {8,2;8,4} \right),{x_{16}},...,{x_{52}} \in \left[ {8,4;8,6} \right),{x_{53}},...,{x_{64}} \in \left[ {8,6;8,8} \right),\) \({x_{65}},...,{x_{71}} \in \left[ {8,8;9,0} \right),{x_{72}},{x_{73}} \in \left[ {9,0;9,2} \right)\)

Do cỡ mẫu \({n_B} = 73\) nên trung vị \({M_e}\left( B \right) = {x_{37}} \in \left[ {8,4;8,6} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e}\left( B \right) = 8,4 + \frac{{\frac{{73}}{2} - 15}}{{37}}.\left( {8,6 - 8,4} \right) = \frac{{3\;151}}{{370}}\) (g)

Vì \(\overline {{x_A}}  > \overline {{x_B}} ,{M_e}\left( A \right) > {M_e}\left( B \right)\) nên so sánh theo số trung bình hay trung vị thì cân nặng của trứng chim cút của trang trại A đều hơn cân nặng của trứng chim cút của trang trại B

b) Đối với trang trại A:

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{22}} + {x_{23}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8,4;8,6} \right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1}\left( A \right) = 8,4 + \frac{{\frac{{89}}{4} - 7}}{{18}}.\left( {8,6 - 8,4} \right) = \frac{{617}}{{72}}\)

Do cỡ mẫu \({n_A} = 89\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{67}} + {x_{68}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8,8;9,0} \right)\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3}\left( A \right) = 8,8 + \frac{{\frac{{3.89}}{4} - \left( {7 + 18 + 34} \right)}}{{21}}.\left( {9,0 - 8,8} \right) = \frac{{3\;727}}{{420}}\)