Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 162

1. Nội dung câu hỏi

Kết quả điều tra về số giờ làm thêm trong một tuần của 100 sinh viên được cho ở biểu đồ bên.

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và các tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

2. Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về số trung bình của mẫu số liệu để tính:

Giả sử mẫu số được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline x \), được tính như sau: \(\overline x  = \frac{{{n_1}{c_1} + {n_2}{c_2} + ... + {n_k}{c_k}}}{n}\), trong đó \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\).

+ Sử dụng kiến thức về mốt của mẫu số liệu để tính: Giả sử nhóm chứa mốt là \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\), khi đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({M_O}\) được xác định bởi công thức: \({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

+ Sử dụng kiến thức xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Gọi n là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị,

\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\).

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là: \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\).

+ Sử dụng kiến thức về xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_2}\), cũng chính là trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_1}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ nhất, \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\)

Khi đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: \({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({Q_3}\), ta làm như sau:

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_j};{u_{j + 1}}} \right)\) chứa tứ phân vị thứ ba, \({n_j}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba, \(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{j - 1}}\)

Khi đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: \({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right)\)

3. Lời giải chi tiết 

Ta có bảng tần số ghép nhóm gồm các giá trị đại diện của nhóm là:

Cỡ mẫu \(n = 100\)

Số trung bình của mẫu số liệu là: \(\overline x  = \frac{{12.3 + 20.5 + 37.7 + 21.9 + 11.10}}{{100}} = 6,94\)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {6;8} \right)\).

Do đó, \({u_m} = 6,{u_{m + 1}} = 8,{n_m} = 37,{n_{m + 1}} = 20,{u_{m + 1}} - {u_m} = 8 - 6 = 2\)

Mốt của mẫu số liệu là: \({M_O} = 6 + \frac{{37 - 20}}{{\left( {37 - 20} \right) + \left( {37 - 21} \right)}}.2 = \frac{{232}}{{33}}\)

Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{100}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: \({x_1},...,{x_{12}} \in \left[ {2;4} \right),{x_{13}},...,{x_{32}} \in \left[ {4;6} \right),{x_{33}},...,{x_{69}} \in \left[ {6;8} \right),\) \({x_{70}},...,{x_{90}} \in \left[ {8;10} \right),{x_{90}},...,{x_{100}} \in \left[ {10;12} \right)\).

Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {6;8} \right)\).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là:\({Q_2} = 6 + \frac{{\frac{{100}}{2} - \left( {12 + 20} \right)}}{{37}}.\left( {8 - 6} \right) = \frac{{258}}{{37}}\)

Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {4;6} \right)\).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 4 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 12}}{{20}}.\left( {6 - 4} \right) = 5,3\)

Do cỡ mẫu \(n = 100\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {8;10} \right)\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {12 + 20 + 37} \right)}}{{21}}.\left( {10 - 8} \right) = \frac{{60}}{7}\).