Bài 5 trang 169 SBT hình học 12

Đề bài

Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: $\frac{x}{-3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).

b) Tìm tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C.

Lời giải chi tiết

a) Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1:

(P) đi qua A, song song với hai đường thẳng d và BC.

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{v}=\left(-3;-1;2\right)$ và $\overrightarrow{BC}=\left(-2;4;0\right)$

Do đó $\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{v},\overrightarrow{BC}\right]=\left(-8;-4;-14\right)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

-8(x - 1) - 4(y - 2) - 14(z - 1) = 0 hay 4x + 2y + 7z - 15 = 0

Trường hợp 2:

(P) đi qua A, đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC, và song song với d.

Ta có: $\overrightarrow{FA}=\left(0;1;0\right),\left[\overrightarrow{FA},\overrightarrow{v}\right]=\left(2;0;3\right)$

Suy ra phương trình của (P) là:

2(x - 1) + 3(z - 1) = 0 hay 2x + 3z - 5 = 0.

b) Gọi (Q) và (R) theo thứ tự là mặt phẳng trung trực của AB và BC.

Những điểm cách đều ba điểm A, B, C là giao tuyến Δ = (Q) ∩ (R).

(Q) đi qua trung điểm E(3/2; 1/2; 1) của AB và có $\overrightarrow{n_Q}=\overrightarrow{AB}=\left(1;-3;0\right)$

Do đó phương trình của (Q) là:

x - 3/2 - 3(y - 1/2) = 0 hay x - 3y = 0

(R) đi qua trung điểm F(1; 1; 1) của BC và có $\overrightarrow{n_R}=\overrightarrow{BC}=\left(-2;4;0\right)$

Do đó phương trình (R) là: x - 2y + 1 = 0

Ta có: $\left[\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}\right]=\left(0;0;-2\right)$

Lấy D(-3; -1; 0) thuộc (Q) ∩ (R)

Suy ra Δ là đường thẳng đi qua D và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(0;0;1\right)$

nên có phương trình là: $\{\begin{array}{c}x=-3\\ y=-1\\ z=t\end{array}$