Bài 5 trang 184 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = 3cm, BC = 10cm,\) \(CD = 12cm, AD = 5cm,\) đường chéo \(BD = 6cm.\) Chứng minh rằng \(ABCD\) là hình thang.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Tam giác này có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: Nếu \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong các góc tạo thành có cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).

- Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}
\end{array}\)

Xét \(ΔABD \) và \( ΔBDC\) có:

\(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}= \dfrac{1}{2}\) (cmt)

\( ⇒ ΔABD \backsim ΔBDC\) (c.c.c)

\( ⇒ \widehat {ABD} = \widehat {BDC}\)

Mà \( \widehat {ABD} \) và \(\widehat {BDC}\) ở vị trí so le trong nên \(AB // CD\).

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB//CD\) (cmt) nên là hình thang.