Bài 5 trang 40

Đề bài

Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng lước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện bước 3, 4, …

Kí hiệu $$ là lượng nước có tron bình sau bước n $$

a) Tính $$. Từ đó dự đoán công thức tính $$ với $$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

  $$.

Từ đó ta dự đoán $$ với $$

b)

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $$ ta có $$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $$, nghĩa là có: $$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $$, nghĩa là cần chứng minh $$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

$$

Vậy công thức đúng với $$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi $$.