Bài 5 trang 83 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Từ điểm \(D\) trên cạnh \(BC\), kẻ các đường thẳng song song với các cạnh \(AB\) và \(AC\), chúng cắt các cạnh \(AC\) và \(AB\) theo thứ tự tại \(F\) và \(E\) (hình 4)  

Chứng minh rằng:

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí Ta - lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ ABC\) có \(DE // AC\) (gt)

Theo định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} = {{CD} \over {CB}}\)  (1)

Lại có: \(DF // AB\) (gt)

Theo định lí Ta-lét ta có:

\(\displaystyle{{AF} \over {AC}} = {{BD} \over {BC}}\)  (2)

Cộng  (1) và (2) theo vế với vế, ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{CD} \over {CB}} + {{BD} \over {BC}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}  = {{CD + BD} \over {BC}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}  = {{BC} \over {BC}} = 1\)