Giải Bài 50 trang 84 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao cho AD = CF = BE. Chứng minh tam giác DEF là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC đều (giả thiết)

Nên AB = BC = AC và \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = 60^\circ \)

Ta có AB = AE + BE, AC = AD + DC, BC = BF + FC

Mà AB = BC = AC, AD = CF = BE.

Suy ra AE = BF = CD.

• Xét ∆ADE và ∆BEF có:

AD = BE (giả thiết),

\(\widehat {DAE} = \widehat {FBE}\) (cùng bằng 60°),

AE = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆ADE = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra DE = EF (hai cạnh tương ứng) (1)

• Xét ∆CFD và ∆BEF có:

CF = BE (giả thiết),

\(\widehat {FCD} = \widehat {EBF}\) (cùng bằng 60°),

CD = BF (chứng minh trên).

Do đó ∆CFD = ∆BEF (c.g.c).

Suy ra FD = EF (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE = EF = FD.

Do đó tam giác DFE đều.

Vậy tam giác DEF là tam giác đều.