Bài 52 trang 97 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tứ giác \(ABCD \) có hai góc vuông tại đỉnh \(A\) và \(C,\) hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O,\) \(\widehat {BAO} = \widehat {BDC}\) (h.37)

Chứng minh:

a) \(∆ ABO\) đồng dạng \(∆ DCO\).

b) \(∆ BCO\) đồng dạng \(∆ ADO\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) \(\widehat {BAO} = \widehat {BDC}\)  (gt) hay \(\widehat {BAO} = \widehat {ODC}\)

Xét \( ∆ABO\) và \(∆ DCO\) có:

+) \(\widehat {BAO} = \widehat {ODC}\) (chứng minh trên)

+)  \(\widehat {AOB} = \widehat {DOC}\)  (đối đỉnh)

\( \Rightarrow  ∆ ABO\) đồng dạng \(∆ DCO\) (g.g)

b) Vì \(∆ ABO\) đồng dạng \(∆ DCO\) nên \({\widehat B_1} = {\widehat C_1}\)    (1)

Mà \({\widehat C_1} + {\widehat C_2} = \widehat {BCD} = 90^\circ \)  (2)

Xét tam giác \(ABD\) có \(\widehat A = 90^\circ \) nên \({\widehat B_1} + {\widehat D_2} = 90^\circ \)             (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({\widehat C_2} = {\widehat D_2}\)

Xét \(∆ BCO\) và \(∆ ADO\) có:

\({\widehat C_2} = {\widehat D_2}\) (chứng minh trên )

\(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow ∆ BCO\) đồng dạng \(∆ ADO\) (g.g).