Bài 56 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang \(ABCD,\) biết hai đáy \(AB = 1cm,\) \(CD = 4cm,\) hai cạnh bên \(AD = 2cm,\) \(BC = 3cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

     +) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

     +) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

     +) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(CD\) tại \(E\) ta thấy tam giác \(AED\) xác định vì biết ba cạnh, ta cần xác định đỉnh \(B\) và \(C\)

- Đỉnh \(C\) nằm trên tia \(DE,\) cách \(D\) một khoảng bẳng \(4cm\)

- Đỉnh \(B\) nằm trên đường thẳng đi qua \(A\) song song với đường thẳng \(DE\) và cách \(A\) một khoảng bằng \(1cm.\)

Cách dựng:

- Dựng \(∆ ADE\) biết \(AD = 2cm,\) \(DE = 3cm,\) \(AE = 3cm\)

- Trên tia \(DE\) dựng điểm \(C\) sao cho \(DC = 4cm\)

- Dựng đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(DC,\) lấy điểm \(B\) sao cho \(AB = 1cm.\) Nối \(BC\) ta có hình thang \(ABCD\) cần dựng

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có \(AB // CD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Ta có: \(AD = 2cm,\) \(DC = 4cm,\) \(AB = 1cm,\) hình thang \(ABCE\) có hai cạnh đáy \(AB = EC = 1cm\) nên \(BC = AE = 3cm.\)

Hình thang \(ABCD\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác \(ADE\) luôn dựng được nên hình thang \(ABCD\) dựng được, bài toán có một nghiệm hình.