Bài 57 trang 86 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Dựng hình thang cân \(ABCD,\) biết hai đáy \(AB = 1cm,\) \(CD = 3cm,\) đường chéo \(BD = 3cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Phân tích: 

+) Giả sử đã có một hình thỏa mãn điều kiện bài toán

+) Chọn ra các yếu tố dựng được ngay (đoạn thẳng, tam giác,...)

+) Đưa việc dựng các điểm còn lại về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản (Mỗi điểm thường được xác định là giao của hai đường.)

* Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

* Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

* Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

Lời giải chi tiết

Phân tích: Giả sử hình thang \(ABCD\) dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Từ \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(CD\) tại \(E.\) Tứ giác \(ABEC\) là hình thang có hai cạnh bên song song nên \(CE = AB = 1cm,\) \(BE = AC = 3cm\)

Tam giác \(BDE\) xác định được, ta cần xác định đỉnh \(C\) và \(A\)

- Đỉnh \(C\) nằm trên tia \(DE\) cách \(D\) một khoảng bẳng \(3cm\)

- Đỉnh \(A\) nằm trên đường thẳng đi qua \(B\) và song song với \(CD,\) \(A\) cách \(C\) một khoảng bằng \(3cm\)

Cách dựng:

- Dựng \(∆ BDE\) biết \(BD = 3cm,\) \(BE = 3cm,\) \(DE = 4cm.\)

- Dựng điểm \(C\) trên tia \(DE\) sao cho \(DC = 3cm\)

- Dựng đường thẳng \(d\) đi qua \(B\) song song với \(CD\)

- Dựng cung tròn tâm \(C\) bán kính \(3cm\) cắt đường thẳng \(d\) tại \(A.\)

Nối \(AD\) ta có hình thang \(ABCD\) dựng được.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có \(AB // CD.\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang

\(CD = 3cm,\) \(AC = BD = 3cm.\) Vậy \(ABCD\) là hình thang cân

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.