Bài 6 trang 101 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một văn phòng A có 15 nhân viên nam và 20 nhân viên nữ. Để khảo sát mức độ hài long của nhân viên thông qua hình thức phỏng vấn, người ta lần lươt ghi tên của từng nhân viên vào 35 mẩu giấy giống nhau, từ đó chọn ngẫu nhiên 5 mẩu giấy

a) Tính xác suất của các biến cố:

A: “Trong 5 người được chọn có 2 nam, 3 nữ”

B: “Có nhiều nhân viên nữ được chọn hơn nhân viên nam”
C: “Có ít nhất một người được chọn là nữ”

b) Biết chị Lan là một nhân viên của văn phòng A. Tính xác suất của biến cố chị Lan được chọn

Lời giải chi tiết

Chọn 5 mẩu giấy từ 35 mẩu giấy có \(C_{35}^5\) cách.

Do đó: \(n\left( \Omega  \right) = C_{35}^5\)

a) A: “Trong 5 người được chọn có 2 nam, 3 nữ”

+ Chọn 2 nam (trong 15 nam): \(C_{15}^2\) cách chọn

+ Chọn 3 nữ (trong 20 nữ): \(C_{20}^3\) cách chọn

=> \(n\left( A \right) = C_{15}^2.C_{20}^3\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{15}^2.C_{20}^3}}{{C_{35}^5}} \approx 0,37\)

- B: “Có nhiều nhân viên nữ được chọn hơn nhân viên nam”

Chọn 5 người nên xảy ra các trường hợp: 3 nữ 2 nam, 4 nữ 1 nam và 5 nữ

TH1: Chọn 3 nam, 2 nữ

+ Chọn 3 nữ (trong 20 nữ): \(C_{20}^3\) cách chọn

+ Chọn 2 nam (trong 15 nam): \(C_{15}^2\) cách chọn

=> Có \(C_{15}^2.C_{20}^3\) cách

TH2: chọn 4 nữ 1 nam

Tương tự ta có: \(C_{20}^4.C_{15}^1\) cách

TH3: chọn 5 nữ

Có \(C_{20}^5\) cách

=> \(n\left( B \right) = C_{20}^5 + C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3\)

\( \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{20}^5 + C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3}}{{C_{35}^5}} \approx 0,64\)
- C: “Có ít nhất một người được chọn là nữ” => \(\overline C \) là “không có nhân viên nữ nào được chọn” nói cách khác \(\overline C \) là “5 người được chọn đều là nam”

Do đó \(n\left( C \right) = C_{15}^5\)

\( \Rightarrow P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = 1 - \frac{{C_{15}^5}}{{C_{35}^5}} \approx 0,99\)

b) D: “chị Lan được chọn” => \(\overline D \) là “Trong 5 người được chọn không có chị Lan”

Văn phòng có 35 người, không tính chị Lan thì còn 34 người. Ta chọn 5 người trong số này, có \(C_{34}^5\) cách.

\( \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - P\left( {\overline D } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline D } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = 1 - \frac{{C_{34}^5}}{{C_{55}^5}} = \frac{1}{7}\)