Giải bài 6 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng, cho đa giác$$ có n cạnh $$. Gọi $$ là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính $$ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính $$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

b) Dự đoán $$ với mọi $$.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp

Với $$ ta có $$

Vậy công thức đúng với $$

Giả sử công thức đúng với $$ nghĩa là có $$

Ta chứng minh công thức đúng với $$ tức là chứng minh  $$

Thật vậy, ta có

Xét đa giác k+1 cạnh: $$. Kẻ đường chéo $$, chia đa giác này thành đa giác $$ k cạnh và tam giác $$. Khi đó tổng các góc trong của đa giác k+1 cạnh $$ bằng tổng các góc trong cả đa giác k cạnh $$ và tam giác $$

Do đó: $$

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên $$.