Giải bài 6.32 trang 21 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình bên). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy \(\pi  = 3,14\) và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải chi tiết

Gọi x (cm) (0 < x < 66) là đường kính của nửa hình tròn

\( \Rightarrow \) Kích thước còn lại của hình chữ nhật là y = \(\sqrt {{{66}^2} - {x^2}}  = \sqrt {4356 - {x^2}} \) (cm)

DIện tích của nửa hình tròn là: \({S_1} = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{3,14}}{8}{x^2}\) (cm²)

Diện tích hình chữ nhật là: \({S_2} = x\sqrt {4356 - {x^2}} \) (cm²)

Theo giả thiết, \({S_1} = 0,3{S_2} \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}{x^2} = 0,3.x\sqrt {4356 - {x^2}} \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}{x^2} - 0,3.x\sqrt {4356 - {x^2}}  = 0 \Leftrightarrow x\left( {\frac{{3,14}}{8}x - 0,3\sqrt {4356 - {x^2}} } \right)\) = 0

 \( \Leftrightarrow \frac{{3,14}}{8}x - 0,3\sqrt {4356 - {x^2}}  = 0\) (do x > 0) \( \Leftrightarrow \sqrt {4356 - {x^2}}  = \frac{{157}}{{120}}x\) (*)

Bình phương hai vế của (*) ta được: \(4356 - {x^2} = \frac{{24649}}{{14400}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} \approx 1606,35 \Leftrightarrow x \approx 40,08\)

Với x = 40,08 thì y = 52,44

Vậy hai kích thước của hình chữ nhật là 40,08 cm và 52,44 cm