Giải bài 7 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hàng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi $$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ $$.

a) Tính $$.

b) Dự đoán công thức tính $$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Gợi ý: Lưu ý công thức ở Thực hành 4.

Lời giải chi tiết

a) $$ là tổng tiền vốn và lãi của nười đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2, do đó: $$

b) Từ a) ta dự đoán rằng

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $$ ta có $$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $$, nghĩa là có:

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $$, nghĩa là cần chứng minh

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

Vậy công thức đúng với $$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất công thức đúng với mọi $$.