Đề bài
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của: \((2x + 3){(x - 2)^6}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Số hạng chứa \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{(ax)^k}{b^{n - k}}\)
Do đó hệ số của \({x^k}\) trong khai triển của \({(ax + b)^n}\) là \(C_n^{n - k}{a^k}{b^{n - k}}\)
Lời giải chi tiết
Cách 1: Sử dụng tam giác Pascal, ta có:
\(\begin{array}{l}{(x - 2)^6} = {x^6} + 6{x^5}\left( { - 2} \right) + 15{x^4}{\left( { - 2} \right)^2} + 20{x^3}{\left( { - 2} \right)^3} + 15{x^2}{\left( { - 2} \right)^4} + 6x{\left( { - 2} \right)^5} + {\left( { - 2} \right)^6}\\ = {x^6} - 12{x^5} + 60{x^4} - 160{x^3} + 240{x^2} - 192x + 64\end{array}\)
\((2x + 3){(x - 2)^6} = (2x + 3)\left( {{x^6} - 12{x^5} + 60{x^4} - 160{x^3} + 240{x^2} - 192x + 64} \right)\)
Do đó hệ số của \({x^5}\) là: \(2.60 + 3.( - 12) = 84\)
Cách 2: Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
\({(x - 2)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { - 2} \right) + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{\left( { - 2} \right)^k} + ... + C_6^6{\left( { - 2} \right)^6}\)
\(\begin{array}{l}(2x + 3){(x - 2)^6} = 2C_6^0{x^7} + 2C_6^1{x^6}\left( { - 2} \right) + ... + 2C_6^k{x^{7 - k}}{\left( { - 2} \right)^k} + ... + 2C_6^6x{\left( { - 2} \right)^6}\\ + 3\left[ {C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { - 2} \right) + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{{\left( { - 2} \right)}^k} + ... + C_6^6{{\left( { - 2} \right)}^6}} \right]\\ = 2C_6^0{x^7} + \left[ {2\left( { - 2} \right)C_6^1 + 3C_6^0} \right]{x^6} + ... + \left[ {2{{\left( { - 2} \right)}^k}C_6^k + 3{{\left( { - 2} \right)}^{k - 1}}C_6^{k - 1}} \right]{x^{7 - k}} + \left[ {2{{\left( { - 2} \right)}^6}C_6^6 + 3C_6^5{{\left( { - 2} \right)}^5}} \right]x + 3C_6^6{\left( { - 2} \right)^6}.\end{array}\)
Số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(7 - k = 5\)hay \(k = 2\). Do đó hệ số của \({x^5}\) là
\(2{\left( { - 2} \right)^2}C_6^2 + 3{\left( { - 2} \right)^1}C_6^1 = 84\)
Múa rối nước hiện đại soi bóng tiền nhân
Chủ đề 6. Tốc độ phản ứng hóa học
Chương 10. Địa lí các ngành kinh tế
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Toán lớp 10
Chương 1. Mệnh đề và tập hợp
SGK Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
SGK Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SGK Toán - Cánh diều Lớp 10
SBT Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
SBT Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SBT Toán - Cánh Diều Lớp 10
Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
Chuyên đề học tập Toán - Cánh diều Lớp 10
Lý thuyết Toán Lớp 10
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Kết nối tri thức
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Cánh diều
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 10