Câu hỏi 7.19 - Mục Bài tập trang 34

1. Nội dung câu hỏi

Cho tứ diện đều \(ABCD\) có độ dài các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BM\) tại \(H\).

a) Chứng minh rằng \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

3. Lời giải chi tiết 

a) Vì \(M\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CD \bot BM\), \(CD \bot AM\), do đó \(CD \bot \left( {ABM} \right)\), suy ra \(CD \bot AH\), ta lại có \(AH \bot BM\) nên \(AH \bot \left( {BCD} \right)\).

b) Vì \(AM \bot CD,BM \bot CD\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BM\), mà \(\left( {AM,BM} \right) = \widehat {AMB}\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) bằng \(\widehat {AMB}\). 

Ta có: \(HM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), tam giác \(AHM\) vuông tại \(H\) nên \({\rm{cos}}\widehat {AMB} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{1}{3}\).