Bài 85 trang 90 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD.\) Qua \(C\) kẻ đường thẳng \(xy\) chỉ có một điểm chung \(C\) với hình bình hành. Gọi \(AA’, BB’, DD’\) là các đường vuông góc kẻ từ \(A, B, D\) đến đường thẳng \(xy.\) Chứng minh rằng \(AA’ = BB’ + DD’.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết

Gọi \(O \) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\)

Kẻ \(OO’ ⊥ xy\)

Ta có: \(BB’ ⊥ xy \;\;(gt)\)

           \(DD’ ⊥ xy\;\; (gt)\)

Suy ra: \(BB’ // OO’ // DD’\)

Tứ giác \(BB’D’D\) là hình thang

\(OB = OD\) (tính chất hình bình hành)

nên \(O’B’ = O’D’\) do đó \(OO’\) là đường trung bình của hình thang \(BB’D’D\)

\(⇒ OO’= \displaystyle {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Hay \(BB' + {\rm{DD}}'= 2OO'\) \((1)\)

\(AA’ ⊥ xy \;\;(gt)\)

\(OO’ ⊥ xy\) (theo cách vẽ)

Suy ra: \(AA’ // OO’\)

Trong \(∆ ACA’\) ta có: \(OA = OC\) ( tính chất hình bình hành) và \(OO’ // AA’\) nên \(O'A'=O'C'\) 

Suy ra \(OO’\) là đường trung bình của \(∆ ACA’\)

\(⇒ OO’ =  \displaystyle  {1 \over 2}AA’\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(⇒ AA’ = 2OO’ \;\;(2)\)

Từ  \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AA’ = BB’ + DD’.\)