Bài 9.15 trang 55

Đề bài

Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

-Chứng minh: U là trọng tâm tam giác ABD.

-Chứng minh: V là trọng tâm tam giác ACD

-MB = MC

Lời giải chi tiết

-Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AD, DU đi qua trung điểm AB

=>BM và DU là 2 đường trung tuyến của tam giác

Mà BM cắt DU tại U

=>U là trọng tâm tam giác ABD.

\( \Rightarrow BU = 2UM = \dfrac{2}{3}BM\)(1)

-Xét tam giác ACD:

M là trung điểm của AD, DV đi qua trung điểm AC

=>CM và DV là 2 đường trung tuyến của tam giác

Mà CM cắt DV tại V

=>V là trọng tâm tam giác ACD.

\( \Rightarrow CV = 2MV = \dfrac{2}{3}MC\)(2)

Mà M là trung điểm BC

\( \Rightarrow MB = MC\)

Lại có: UV = UM + MV = \(\dfrac{1}{3}BM + \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{1}{3}BM + \dfrac{1}{3}BM = \dfrac{2}{3}BM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

BU = UV = VC.