Mục 1 trang 25, 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Nội dung câu hỏi

a) Tìm phép biến hình biến $$BAC thành $$BA’C’ (Hình 1).

b) Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định (Hình 2).

Gọi f là quy tắc ứng với mỗi điểm M trùng O cho ta điểm O và ứng với điểm M khác O cho ta một điểm M’ xác định như sau:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng 60°.

Quy tắc f có phải là một phép biến hình không?

Hãy vẽ điểm M’ theo quy tắc trên nếu thay góc 60° bởi góc –30°.

2. Phương pháp giải

Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu $$.

3. Lời giải chi tiết

a) Để tìm phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’, ta tìm phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’, biến điểm C thành điểm C’.

Với $$ ta có:

Suy ra $$

Khi đó $$

Vì vậy $$

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BA thành đoạn thẳng BA’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm A thành điểm A’ sao cho BA’ = BA và góc lượng giác $$

Thực hiện tương tự, ta được $$

Suy ra phép biến hình biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng BC’ là phép biến hình biến điểm B thành điểm B, biến điểm C thành điểm C’ sao cho BC’ = BC và góc lượng giác $$

Từ (1), (2), ta thu được phép biến hình biến ∆BAC thành ∆BA’C’ là phép biến hình biến điểm B thành chính nó, biến điểm A thành điểm A’ sao cho  và góc lượng giác $$ và biến điểm C thành điểm C’ sao cho $$  và góc lượng giác $$

b) Đặt $$ Trong đó, M’ là điểm nằm trên (C) sao cho góc lượng giác $$ bằng 60°.

Ta thấy f là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M đều xác định duy nhất một điểm M’.

Vậy f là một phép biến hình.

Cách vẽ điểm M’ theo quy tắc trên với góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°:

– Dùng compa vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

– Trên (C) chọn điểm M’ sao cho góc lượng giác (OM, OM’) bằng –30°.

Ta có hình vẽ sau:

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các điểm là ảnh của điểm $$ lần lượt qua các phép quay $$

2. Phương pháp giải

Phép quay tâm O, góc quay  :

Khi đó, $$

3. Lời giải chi tiết

Ta có $$. Suy ra OM = 2.

Vẽ đường tròn (C) tâm O bán kính OM.

⦁ Ảnh của điểm $$ qua phép quay $$

Ta có $$ biến điểm M khác O thành điểm M₁ sao cho $$và $$ nên $$

Kẻ $$  tại H.

Tam giác OMH vuông tại H: $$

Suy ra $$

Ta có $$

Suy ra $$  nên $$

Mà $$ (chứng minh trên) nên tọa độ $$

⦁ Ảnh của điểm $$ qua phép quay $$

Ta có $$ biến điểm M khác O thành điểm M₂ sao cho $$và $$ nên $$.

Suy ra tam giác $$  vuông cân tại O.

Ta có $$

Suy ra $$

Khi đó tam giác MOM₂ có OM₁ là đường phân giác.

Vì vậy OM₁ cũng là đường trung trực của tam giác MOM₂ hay Oy là đường trung trực của tam giác MOM₂.

Suy ra M₂ là ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục Oy.

Do đó hai điểm $$ và M₂ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vậy tọa độ $$

⦁ Ảnh của điểm $$ qua phép quay $$

Ta có $$ biến điểm M khác O thành điểm M₃ sao cho $$và $$ nên $$

Suy ra O là trung điểm của MM₃.

 Khi đó $$

Vì vậy $$

Vậy tọa độ $$

⦁ Ảnh của điểm $$ qua phép quay $$

Ta có $$ biến điểm M khác O thành điểm M₄ sao cho $$và $$ nên $$

Tức là, $$

Vậy tọa độ $$.

1. Nội dung câu hỏi

Một con tàu đang di chuyển theo hướng bắc. Người lái tàu phải thực hiện phép quay nào trên bánh lái để con tàu:

a) rẽ sang hướng tây?

b) rẽ sang hướng đông?

2. Phương pháp giải

Quan sát hình 5 và dựa vào đề bài để tìm góc quay φ

3. Lời giải chi tiết

a) Để con tàu rẽ sang hướng tây, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = 90°.

b) Để con tàu rẽ sang hướng đông, người lái tàu phải thực hiện phép quay với tâm là tâm của bánh lái và góc quay φ = –90°.