Hoạt động 1 trang 50 Chuyên đề Toán 11 Cánh diều

1. Nội dung câu hỏi

Cho mặt phẳng (P), điểm M, đoạn thẳng AB và đường thẳng a. Xác định hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (P) của:

a) Điểm M;

b) Đoạn thẳng AB;

c) Đường thẳng a.

2. Phương pháp giải 

Gợi nhớ kiến thức và thực hiện yêu cầu.

3. Lời giải chi tiết

a)

+) TH1: Điểm M thuộc mặt phẳng (P) thì hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+) TH2: Điểm M không thuộc mặt phẳng (P).

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng này cắt mặt phẳng (P) tại H. Vậy H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

b) Tùy theo vị trí của đoạn thẳng so với mặt phẳng hình chiếu, ta có 3 trường hợp:

+) TH1: Đoạn thẳng xiên với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là đoạn thẳng không song song và có độ dài không bằng nó (A'B' < AB).

+) TH2: Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là đoạn thẳng song song và có độ dài bằng nó (A'B' = AB).

+) TH3: Đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu: hình chiếu của nó là một điểm (A' ≡ B').

c)

+) TH1: Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là chính nó.

+) TH2: Đường thẳng a cắt mặt phẳng (P).

Gọi M là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P). Lấy điểm B khác M thuộc đường thẳng a, xác định hình chiếu vuông góc H của B trên mặt phẳng (P). Khi đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng a lên mặt phẳng (P) là đường thẳng đi qua hai điểm M và H.

Tổng quát:

+) TH3: Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

Lấy hai điểm A, B khác nhau trên đường thẳng a, xác định hình chiếu vuông góc A', B' lần lượt của A và B trên mặt phẳng (P). Khi đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng A'B' (A'B' // a).

+) TH4: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P).

Khi đó hình chiếu vuông của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là giao điểm M của a và (P).