Luyện tập 5 trang 106 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMNB là hình thang vuông.

b) Gọi I là giao điểm của BM và AN. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho MF = MI. Chứng minh rằng EF // AB.

c) Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng bốn điểm C, K, I, H thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) ∆ABC có:

M là trung điểm của AC (gt);

N là trung điểm của BC (gt);

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

=> MN // AB=> Tứ giác AMNB là hình thang.

Mà \(\widehat {MAB} = 90^\circ \)

Nên tứ giác AMNB là hình thang vuông.

b) ∆IEF có :

M là trung điểm của IF (gt) ;

N là trung điểm của IE (gt);

=> MN là đường trung bình của tam giác IEF => MN // EF

Mà MN // AB (chứng minh câu a) nên \(EF // AB\)

c) ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và AN cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của tam giác ABC.

Mà CH là đường trung tuyến của tam giác ABC (H là trung điểm của AB)

Nên CH đi qua I => C, H, I thẳng (1).

∆ABC có I là trọng tâm và BM là đường trung tuyến \( \Rightarrow \left\{ \matrix{  BI = {2 \over 3}BM \hfill \cr  IM = {1 \over 3}BM \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow {{BI} \over {IM}} = 2 \Rightarrow BI = 2IM\)

Mà 2IM = IF (do M là trung điểm của IF) nên BI = IF => I là trung điểm của BF.

∆ABF có:

I là trung điểm của BF;

H là trung điểm của AB

=> IH là đường trung bình của tam giác ABF => IH // AF

Ta có:

AI = 2IN (I là trọng tâm của tam giác ABC và AN là đường trung tuyến)

2IN = IE (N là trung điểm của IE)

=> AI = IE => I là trung điểm của AE.

Mà K là trung điểm của EF.

Nên IK là đường trung bình của tam giác AEF => IK // AF

Lại có : IH // AF.

Do đó H, I, K thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, K, I, H thẳng hàng.