Lý thuyết Chia đa thức cho đơn thức

1. Qui tắc

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

2. Chú ý

Trường hợp đa thức \(A\) có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Thực hiện phép tính \(\left( -12{{x}^{4}}y+4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right):\left( -4{{x}^{2}} \right)\) 

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\left( { - 12{x^4}y + 4{x^3} - 8{x^2}{y^2}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right)\\ = \left( { - 12{x^4}y} \right):\left( { - 4{x^2}} \right) + \left( {4{x^3}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right) - \left( {8{x^2}{y^2}} \right):\left( { - 4{x^2}} \right)\\ = 3{x^2}y - x + 2{y^2}.\end{array}\)

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại \(x = {x_0}\)

Phương pháp:

Thay \(x = {x_0}\) vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.

Ví dụ: 

Tính giá trị biểu thức \(A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy\) tại \(x=1;y=1\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy\\
= {x^2}y:xy + {y^2}x:xy\\
= x + y
\end{array}\)

Với \(x=1;y=1\) ta có: \(A = x + y = 1 + 1 = 2\)

Dạng 3: Tìm \(m\) để phép tính chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp:

Sử dụng nhận xét:

Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\).

Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\) khi mỗi biến của \(B\) đều là biến của \(A\) với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong \(A\) .

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

\(A=7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}}\)

\(B=5{{x}^{2}}{{y}^{n}}\)

Ta có: 

\(A:B=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)\)\(=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{4}} \right)\)\(-\left( 5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)\)

Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi \(\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ge 2\\4 \ge n\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \le 4\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow 3 \le n \le 4\) mà \(n\in \mathbb N\) nên \(n\in\{3;4\}\)