Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

+)  Nếu hàm số \(f'\left( x \right)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\left( x \right)\), kí hiệu là \(f''\left( x \right)\).

+) Đạo hàm cấp \(n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \({f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)\).

Kí hiệu: \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) hay \({y^{\left( n \right)}}\): 

Tức là \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'\)

Đặc biệt: \({f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)\)

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: \(S = s\left( t \right)\).

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)\)

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \({t_0}\) là: \(a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)\)

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản