Lý thuyết Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

I. Dấu hiệu chia hết cho 9

Ví dụ:

a) Số $1944$ chia hết cho $9$ vì có tổng các chữ số là $1+9+4+4=18$ chia hết cho $9$.

b) Số $7325$ không chia hết cho $9$ vì có tổng các chữ số là $7+3+2+5=17$ không chia hết cho $9$.

II. Dấu hiệu chia hết cho 3

Ví dụ:

a) Số $90156$ chia hết cho $3$ vì có tổng các chữ số là $9+0+1+5+6=21$ chia hết cho $3$.

b) Số $6116$ không chia hết cho $3$ vì có tổng các chữ số là $6+1+1+6=14$ không chia hết cho $3$.

Chẳng hạn:

Số 6 chia hết cho 3 nhưng 6 không chia hết cho 9.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9

I. Nhận biết các số chia hết cho 9

Phương pháp giải

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho cho 9.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

100984 có tổng các chữ số là: 1+9+8+4=22

22 là số không chia hết cho 9 nên 100984 không chia hết cho 9

13545 có tổng các chữ số là: 1+3+5+4+5=18. Số 18 chia hết cho 9 nên 13545  chia hết cho 9.

II. Viết các số chia hết cho 9 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp

Các số chia hết cho 9 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 9.

Ví dụ:

Cho \(\overline {1a32} \) chia hết cho 9. Tìm số thay thế cho \(a\).

Giải:

Tổng các chữ số của \(\overline {1a32} \) là \(1 + a +3 + 2 = a + 6\) để số \(\overline {1a32} \) chia hết cho 9 thì \(a + 6\) phải chia hết cho 9.

Do $a$ là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

\(\begin{array}{l}0 + 6 \le a +6 \le 9 + 6\\ \Rightarrow 6 \le a + 6 \le 15\end{array}\)

Số chia hết cho 9 từ 6 đến 15 chỉ có đúng một số 9, do đó \(a +6 = 9 \Rightarrow a = 3\)

Vậy số thay thế cho a chỉ có thể là 3.

III. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 9

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất: Số dư của một số khi chia cho $9$ bằng số dư của tổng các chữ số của số đó khi chia cho $9$.

Ví dụ:

ho số \(N = \overline {5a} \). Tìm các số tự nhiên $N$ sao cho $N$ chia cho $9$ dư $5$.

Giải:

Vì $N$ chia cho $9$ dư $5$ nên $a+5$ chia cho $9$ dư $5$.

=> $a$ chia hết cho $9$.

Mà \(a \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,.......;\,\,9} \right\}\)

=>$a$ chỉ có thể là $0;9$

=> $N$ có thể là $50;59$

IV. Nhận biết các số chia hết cho 3

Phương pháp

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3.

Sử dụng tính chất chia hết của tổng, của hiệu.

Ví dụ:

a) 555464 có tổng các chữ số là: 5+5+5+4+6+4=29 không chia hết cho 3 nên 555464 không chia hết cho 3.

b) 15645 có tổng các chữ số là: 1+5+6+4+5=21 chia hết cho 3 nên 15645 chia hết cho 3.

V. Viết các số chia hết cho 3 từ các số hoặc các chữ số cho trước

Phương pháp giải

Các số chia hết cho 3 là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Ví dụ:

Cho \(\overline {1a3} \) chia hết cho 3. Tìm số thay thế cho \(a\).

Giải:

Tổng các chữ số của \(\overline {1a3} \) là \(1 + a +3  = a + 4\) để số \(\overline {1a3} \) chia hết cho 3 thì \(a + 4\) phải chia hết cho 3.

Do $a$ là các số tự nhiên từ 0 đến 9 nên

\(\begin{array}{l}0 + 4 \le a +4 \le 9 +4\\ \Rightarrow 4 \le a + 4 \le 13\end{array}\)

Số chia hết cho 3 từ 4 đến 13 có 3 số lần lượt là 6, 9, 12.

Với \(a +4 = 6 \Rightarrow a = 2\).

Với \(a +4 = 9 \Rightarrow a = 5\)

Với \(a +4 = 12 \Rightarrow a = 8\)

Vậy số thay thế cho a có thể là 2, 5, 8.

VI. Bài toán có liên quan đến số dư trong phép chia một số tự nhiên cho 3

Phương pháp

- Số dư trong phép chia cho 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2.

- Mọi số tự nhiên $n$ luôn có thể được viết một trong 3 dạng sau:

+) Dạng 1: $n=3k$ (số chia hết cho 3); 

+) Dạng 2: $n=3k+1$ (số chia cho 3 dư 1);

+) Dạng 3: $n=3k+2$ (số chia cho 3 dư 2)

Với $k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ:

Cho số \(N = \overline {5a} \). Tìm các số tự nhiên $N$ sao cho $N$ chia cho $3$ dư $2$.

Giải:

\(N = \overline {5a} =50+a\)

Vì $N$ chia cho $3$ dư $2$ nên $N-2$ chia hết cho $3$.

=> $50+a-2$ chia hết cho $3$.

=> $a+48$ chia hết cho $3$.

Vì $48$ chia hết cho $3$ nên để tổng $a+48$ chia hết cho $3$ thì $a$ cũng phải chia chết cho $3$.

Mà \(a \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,.......;\,\,9} \right\}\)

=>$a$ chỉ có thể là $0;3;6;9$

=> $N$ có thể là $50;53;56;59$