Lý thuyết khái niệm về khối đa diện

1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) \((H)\) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện \((H)\). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện \((H)\).

2. Khái niệm về khối đa diện

Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện \((H)\) được gọi là khối đa diện \((H)\).

Mỗi đa diện \((H)\) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của \((H)\). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của \((H)\).
Khối đa diện \((H)\) là hợp của hình đa diện \((H)\) và miền trong của nó.

3. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện

a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm \(M\) với điểm \(M’\) xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.

e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :

- Phép dời hình tịnh tiến theo vector \(\vec v\), là phép biến hình biến điểm \(M\) thành \(M’\) sao cho \(\vec{MM'}=\vec v\).

- Phép đối xứng qua mặt phẳng \((P)\), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc \((P)\) thành chính nó, biến điểm \(M\) không thuộc \((P)\) thành điểm \(M’\) sao cho \((P)\) là mặt phẳng trung trực của \(MM’\).
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng \((P)\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \((P)\) được gọi là mặt phẳng đối xứng của \((H)\).

- Phép đối xứng tâm \(O\), là phép biến hình biến điểm \(O\) thành chính nó, biến điếm \(M\) khác \(O\) thành điểm \(M’\) sao cho \(O\) là trung điểm của \(MM’\).

Nếu phép đối xứng tâm \(O\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \(O\) được gọi là tâm đối xứng của \((H)\).

- Phép đối xứng qua đường thẳng \(d\), là phép biến hình mọi điểm thuộc \(d\) thành chính nó, biến điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành điểm \(M’\) sao cho \(d\) là trung trực của \(MM’\). Phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) còn được gọi là phép đối xứng qua trục \(d\).
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) biến hình \((H)\) thành chính nó thì \(d\) được gọi là trục đối xứng của \((H)\).

g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

4. Lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện \((H)\) là hợp của hai khối đa diện \((H_{1}),(H_{2})\), sao cho \((H_{1})\) và \((H_{2})\) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện \((H)\) thành hai khối đa diện \((H_{1})\) và \((H_{2})\), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện \((H_{1})\) và \((H_{2})\) với nhau để được khối đa diện \((H)\).

Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.

5. Kiến thức bổ sung
Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.

a) Phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(k\) \((k\neq0)\) là phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\vec{OM'}=k\vec{OM}\)

b) Hình \((H)\) được gọi là đồng dạng với hình \((H’)\) nếu có một phép vị tự biến \((H)\) thành \((H_{1})\) và \((H_{1})\) bằng \((H’)\).