Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân số

I. Phép cộng hai phân số

a) Cộng hai phân số cùng mẫu:

Ví dụ:

 $\dfrac{8}{5} + \dfrac{7}{5} = \dfrac{{8 + 7}}{5} = \dfrac{{15}}{5} = 3$

b) Cộng hai phân số khác mẫu:

Ví dụ:

$\dfrac{3}{2} + \dfrac{{ - 3}}{5} = \dfrac{{15}}{{10}} + \dfrac{{ - 6}}{{10}} = \dfrac{{15 + \left( { - 6} \right)}}{{10}} = \dfrac{9}{{10}}$.

II. Một số tính chất của phép cộng phân số

Ví dụ:

- Tính chất giao hoán

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}$$ = \dfrac{4}{2} = 2$

- Tính chất kết hợp:

 $\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}} \right) + \dfrac{1}{4}$$

- Tính chất cộng với số 0:

$\dfrac{1}{4} + 0 = 0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$.

III. Số đối của một phân số

Ví dụ:

$\dfrac{{ - 1}}{5}$ là số đối của $\dfrac{1}{5}$, vì $\dfrac{{ - 1}}{5} + \dfrac{1}{5} = 0$.

Chú ý: Số đối của $0$ là $0$.

IV. Phép trừ hai phân số

Ví dụ:

a) $\dfrac{2}{7} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{{2 - 5}}{7} = \dfrac{{ - 3}}{7}$

b) $\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{1}{6} + \left( {\dfrac{{ - 3}}{6}} \right) = \dfrac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{6} = \dfrac{{ - 2}}{6}  = \dfrac{{ - 1}}{3}.$

Nhận xét: Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ.

Ví dụ:

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{{ - 1}}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}$.

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

I. Tìm số đối của một số cho trước

Muốn tìm số đối của một số khác $0$, ta chỉ cần đổi dấu của nó.

Chú ý: $ - \dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - a}}{b} = \dfrac{a}{{ - b}}$

II. Thực hiện phép cộng, trừ các phân số

Áp dụng các qui tắc cộng (trừ) hai phân số cùng mẫu, cộng (trừ) hai phân số không cùng mẫu.

 Chú ý:

+ Nên rút gọn phân số (nếu có phân số chưa tối giản) trước khi cộng (trừ).

+ Rút gọn kết quả (nếu có thể).

III. Tìm số chưa biết trong một tổng, một hiệu

Chú ý quan hệ giữa các số hạng trong một tổng, một hiệu:
+ Một số hạng bằng tổng trừ đi số hạng kia
+ Số bị trừ bằng hiệu cộng với số trừ
+ Số trừ bằng số bị trừ trừ đi hiệu.

IV. Bài toán dẫn đến phép cộng, phép trừ phân số

Bước 1: Căn cứ vào đề bài, lập các phép cộng, phép trừ phân số thích hợp.

Bước 2: Thực hiện phép tính cộng (trừ)

Bước 3: Kết luận.

V. Thực hiện dãy phép tính cộng, trừ các phân số

Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Viết phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương
+ Thay phép trừ bằng phép cộng với số đối
+ Quy đồng mẫu các phân số rồi thực hiện cộng các tử số
+ Rút gọn kết quả (nếu có thể)
Tùy theo đặc điểm của các phân số ta có thể sử dụng các tính chất của phép cộng phân số để việc tính toán được thuận lợi và nhanh chóng.

VI. So sánh phân số bằng cách sử dụng phép cộng phân số thích hợp

Trong một số trường hợp để so sánh hai phân số, ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử. So sánh hai phân số được cộng vào này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho.
Khi so sánh hai phân số cùng tử cần chú ý:
- Trong hai phân số có cùng tử dương, phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn
- Trong hai phân số có cùng tử âm, phân số nào có mẫu lớn hơn thì lớn hơn.