Lý thuyết Phép đối xứng trục

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng \(d\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thuộc \(d\) thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành \(M'\) sao cho \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MM'\), được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) hay phép đối xứng trục \(d\).

Phép đối xứng trục \(d\) thường được kí hiệu là \(Đ_d\)

Nếu hình \(H'\) là ảnh của hình \(H\) qua \(Đ_d\) thì ta còn nói \(H\) đối xứng với \(H'\) qua \(d\), hay \(H\) và \(H'\) đối xứng với nhau qua \(d\).

2. Nhận xét

+) Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M''\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên đường thẳng \(d\). Khi đó

\(M' = Đ_dM)\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow{M''M'}\) = \(-\overrightarrow{M''M}\)

+) \(M' = Đ_d(M)\) \( \Leftrightarrow \) \(M = Đ_d(M')\)

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Ox\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= x\\ {y}'= -y. \end{matrix}\right.\)

4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Oy\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= -x\\ {y}'= y \end{matrix}\right.\)

5. Tính chất

+) Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

6. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng \(d\) được gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng qua \(d\) biến \(H\) thành chính nó. Tức \(Đ_d (H') = H\)

Khi đó ta nói \(H\) là hình có trục đối xứng.