Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ liên tục trên đoạn $$; trục hoành và hai đường thẳng $$, thì diện tích $$ được cho bởi công thức:

$$             (1)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $$ trên đoạn $$. Nếu $$ không đổi dấu trên khoảng $$ thì :

Chẳng hạn ta có:

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $$ và  $$ liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng $$ thì diện tích $$ được cho bởi công thức :

$$         (2)

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu $$ trên đoạn $$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: $$, tìm các nghiệm $$

Bước 2 : Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

Bước 3: Tính diện tích theo công thức (*):

Nếu hình phẳng nói trên không cho giới hạn bởi hai đường thẳng $$ thì ta tìm các nghiệm trên tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bởi $$, b được thay thế bởi $$.

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi $$ hoặc $$

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ liên tục trên đoạn $$ và hai đường thẳng $$ có diện tích được cho bởi công thức: $$

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ $$. $$ là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật thể được cho bởi công thức: $$ (với $$ là hàm số không âm, liên tục trên đoạn $$).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng quay quanh trục $$: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ không âm và liên tục trên đoạn $$, trục $$ và hai đường thẳng $$ quay quanh trục $$, ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích  $$ của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $$

b) Hình phẳng quay quanh trục $$ (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ không âm và liên tục trên đoạn $$, trục $$ và hai đường thẳng $$ quay quanh trục $$, ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức: $$

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $$, $$ và đồ thị hàm số $$ liên tục và $$ trên đoạn $$ quay quanh trục $$ được cho bởi công thức: $$

Tương tự, đổi vai trò $$ và $$ cho nhau, ta có công thức tính  $$ (khi hình phẳng quay quanh trục $$).