Phương pháp giải bài tập tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số

Phương pháp

\(\Delta \varphi  = {\varphi _2} - {\varphi _1}\)

• \(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = k2\pi \): hai dao động cùng pha
• \(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = (2k + 1)\pi \): hai dao động ngược pha
• \(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \dfrac{{2k + 1}}{2}\pi \) : hai dao động vuông pha
• \(\Delta \varphi = {\varphi _2} - {\varphi _1} = \alpha \) : hai dao động lệch nhau một góc α

Phương pháp

Cách 1: Phương pháp đại số

• Bước 1: Xác định các biên độ thành phần của hai dao động và độ lệch pha giữa hai dao động.
• Bước 2: Tính biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp:

\(\begin{array}{l}{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}{\rm{cos(}}{\varphi _2} - {\varphi _1})\\tan\varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}{\rm{cos}}{\varphi _1} + {A_2}{\rm{cos}}{\varphi _2}}}\end{array}\)

• Bước 3: Viết ptdđ tổng hợp: \(x = Ac{\rm{os(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{)}}\)

Cách 2: Sử dụng máy tính

Bấm máy tính: Chuyển máy tính về CMPLX (bấm Mode 2); Nhập số:

\({A_1}\angle {\varphi _1} + {A_2}\angle {\varphi _2}\, = \,shift\,2\,\,\,3\,\, = \) Kết quả:  \(A\angle \varphi \)

Bài tập ví dụ:

Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 6\cos 4\pi t\left( {cm} \right)\\{x_2} = 6\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\left( {cm} \right)\end{array} \right.\). Hãy xác định dao động tổng hợp của hai dao động trên.

Hướng dẫn giải

Ta có: dao động tổng hợp có dạng: \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\left( {cm} \right)\)

+ Biên độ A:

\(A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{{\rm{A}}_1}{A_2}\cos \left( {{\varphi _2} - {\varphi _1}} \right)}\\  = \sqrt {{6^2} + {6^2} + 2.6.6.\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 0} \right)}  = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

+ \(\tan \varphi  = \dfrac{{{A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2}}}{{{A_1}\cos {\varphi _1} + {A_2}\cos {\varphi _2}}} \\= \dfrac{{6\sin 0 + 6\sin \dfrac{\pi }{3}}}{{6\cos 0 + 6\cos \dfrac{\pi }{3}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow \varphi  = \frac{\pi }{6}\)

Vậy dao động tổng hợp của hai dao động trên là:

\(x = 6\sqrt 3 \cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\left( {cm} \right)\)

Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa với biên dộ lần lượt là 3 cm và 5 cm. Trong các giá trị sau, giá trị nào không thể là biên độ của dao động tổng hợp?

A. 4 cm            B. 5 cm            C. 3 cm            D. 10 cm

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left| {{A_1} - {A_2}} \right| \le A \le {A_1} + {A_2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {3 - 5} \right| \le A \le 3 + 5 \Leftrightarrow 2 \le A \le 8\)

Vậy 10 cm không thể là biên độ của dao động tổng hợp.

Chọn D.

Phương pháp

\({x_2} = {A_2}cos(\omega t{\rm{ }} + {\varphi _2}).\)

Trong đó:

• \(A_2^2 = {A^2} + A_1^2 - 2A{A_1}c{\rm{os}}(\varphi - {\varphi _1})\)
• \(\tan {\varphi _2} = \dfrac{{A\sin \varphi - {A_1}\sin {\varphi _1}}}{{Ac{\rm{os}}\varphi  - {A_1}c{\rm{os}}{\varphi _1}}}\)            với \({\varphi _1} \le \varphi  \le {\varphi _2}\)  ( nếu \(\varphi 1{\rm{ }} \le \varphi 2\) )

Phương pháp

\(x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos(\omega t{\rm{ }} + \varphi ).\)

Chiếu lên trục Ox và trục Oy

Ta được:

\({A_x} = Ac{\rm{os}}\varphi  = {A_1}c{\rm{os}}{\varphi _1} + {A_2}c{\rm{os}}{\varphi _2} + ...\)

\({A_y} = A\sin \varphi  = {A_1}\sin {\varphi _1} + {A_2}\sin {\varphi _2} + ...\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {A_x^2 + A_y^2} \) và \(\tan \varphi  = \dfrac{{{A_y}}}{{{A_x}}}\)          với  \(\varphi  \in ({\varphi _{Min}};{\varphi _{Max}})\)