Các dạng toán về cực trị có tham số đối với các hàm số đơn giản

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

+ Hàm số không có điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  \le 0\).

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có \(1\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có \(3\) điểm cực trị nếu phương trình \(y' = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có \(1\) điểm cực trị hoặc có \(3\) điểm cực trị.

+ Trường hợp có \(1\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0\).

+ Trường hợp có \(3\) điểm cực trị thì đó là \(x = 0;x =  - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;x = \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y',y''\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số:

+ \(x = {x_0}\) là điểm cực đại nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.\)

+ \(x = {x_0}\) là điểm cực tiểu nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\)

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu\( \Leftrightarrow ac < 0\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

\( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện \({x_1} + {x_2},{x_1}.{x_2}\) rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S\\{x_1}{x_2} = P\end{array} \right.\) và tìm \(m\).

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) .

Khi đó:

\(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {0;c} \right),B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;c - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ; - \dfrac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{b}{{2a}} + \dfrac{{{b^4}}}{{16{a^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 8ab + {b^4} = 0\\ \Leftrightarrow 8a + b^3 = 0\\ \Leftrightarrow b =  -2\sqrt[3]{a}\end{array}\)

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC = CA\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) cho trước

\( \Leftrightarrow {S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) với \(H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có diện tích \({S_0}\) lớn nhất

\( \Leftrightarrow \) Tìm \(\max {S_0}\) với \({S_0} = \dfrac{1}{2}AH.BC,H\) là trung điểm của \(BC\).

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \(\alpha \) cho trước

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos \alpha \)

+ Ba điểm cực trị \(A,B,C\) trong đó \(A\left( {0;c} \right)\) tạo thành tam giác có ba góc nhọn

\( \Leftrightarrow \alpha \) là góc ở đỉnh phải nhọn \( \Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\)

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 6: Viết phương trình đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Lấy \(y\) chia \(y'\) ta được đa thức dư \(g\left( x \right) = mx + n\).

- Bước 3: Kết luận: \(y = mx + n\) là đường thẳng cần tìm.