Phương pháp giải một số dạng bài tập về mạch dao động

1. Dạng 1: Xác định chu kì, tần số của mạch dao động

- Tần số góc: \(\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }}{\rm{  }} \to T = 2\pi \sqrt {LC} ;{\rm{   }}f = \dfrac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }}\)

• Lập tỉ số, ta có: \(\dfrac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \dfrac{{{f_2}}}{{{f_1}}} = \dfrac{{{\omega _1}}}{{{\omega _2}}} = \sqrt {\dfrac{{{L_2}}}{{{L_1}}}} .\sqrt {\dfrac{{{C_2}}}{{{C_1}}}} \)
• \({\omega _0} = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \dfrac{{{I_0}}}{{{Q_0}}},{\rm{ }} \to {\rm{T = 2}}\pi \dfrac{{{Q_0}}}{{{I_0}}},{\rm{ f = }}\dfrac{{{I_0}}}{{2\pi {Q_0}}}\)

- Bài toán ghép tụ điện nối tiếp và song song

Mạch gồm L và C₁ có tần số f₁ - Mạch gồm L và C₂ có tần số f₂

- Bài toán ghép cuộn cảm nối tiếp và song song

Mạch gồm L₁ và C có tần số f₁ - Mạch gồm L₂ và C có tần số f₂

2. Dạng 2: Xác định I₀, Q₀, U₀, u, i

- Từ phương trình dao động: \(q = {Q_0}cos\left( {\omega t + \varphi } \right),i = q' = - \omega {Q_0}sin(\omega t + \varphi ) = {I_0}cos(\omega t + \varphi  + \dfrac{\pi }{2})\)

\(u = \dfrac{q}{C} = \dfrac{{{Q_0}}}{C}{\rm{cos(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{) = }}{{\rm{U}}_0}{\rm{cos(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{)}}\)

=> Mối liên hệ giữa các đại lượng:

\({I_0} = \omega {Q_0} = \dfrac{{{Q_0}}}{{\sqrt {LC} }}\) , \({U_0} = \dfrac{{{Q_0}}}{C} = \dfrac{{{I_0}}}{{\omega C}} = \omega L{I_0} = {I_0}\sqrt {\dfrac{L}{C}} \)

- Điện áp tức thời:

• Cách 1: Thay vào phương trình: \(u = \dfrac{q}{C} = \dfrac{{{Q_0}}}{C}{\rm{cos(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{) = }}{{\rm{U}}_0}{\rm{cos(}}\omega {\rm{t + }}\varphi {\rm{)}}\)
• Cách 2: \({u^2} = U_0^2 - \dfrac{L}{C}{i^2} = \dfrac{L}{C}(I_0^2 - {i^2})\)

- Dòng điện tức thời:

• Cách 1: Thay vào phương trình:\(i = q = - \omega {Q_0}sin(\omega t + \varphi ) = {I_0}cos(\omega t + \varphi  + \dfrac{\pi }{2})\)
• Cách 2: \({i^2} = I_0^2 - \dfrac{C}{L}{u^2} = \dfrac{C}{L}(U_0^2 - {u^2})\)

- Điện tích tức thời:

• Cách 1: Thay vào phương trình: \(q = {Q_0}cos\left( {\omega t + \varphi } \right)\)
• Cách 2: \({q^2} = {(Cu)^2} = Q_0^2 - \dfrac{{{i^2}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{1}{{{\omega ^2}}}(I_0^2 - {i^2})\)

Điện áp và cường độ dòng điện hiệu dụng: \(U = \dfrac{{{U_0}}}{{\sqrt 2 }};I = \dfrac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}\)

3. Dạng 3. Năng lượng của mạch dao động LC

a. Phương pháp

• Mạch dao động có tần số góc ω, tần số f và chu kì T thì W_đ và W_t biến thiên với tần số góc 2ω, tần số 2f và chu kì T/2.
• Khi tụ phóng điện thì q và u giảm và ngược lại khi tụ tích điện thì q và u tăng.

b. Ví dụ
 

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức tính năng lượng của mạch dao động: \(W = \dfrac{1}{2}CU_0^2\)

Thay U₀=60 V, C=1μF vào, ta được: \(W = \dfrac{1}{2}CU_0^2 = \dfrac{1}{2}{10^{ - 6}}{60^2} = {1,8.10^{ - 3}}(J)\)

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức tính năng lượng của mạch dao động: \(W = {W_d} + {W_t}\)

Ta có: \(W = {W_d} + {W_t} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 \to {W_d} = W - {W_t} = \dfrac{1}{2}LI_0^2 - \dfrac{1}{2}L{i^2} = \dfrac{L}{2}(I_0^2 - {i^2}) = \dfrac{{{{5.10}^{ - 6}}}}{2}({2^2} - {1^2}) = {7,5.10^{ - 6}}(J)\)

Ví dụ:

Hướng dẫn:

Cường độ dòng điện cực đại: \({I_0} = {Q_0}\omega  = {2,5.10^{ - 6}}{.2.10^3}\pi  = {5.10^{ - 3}}\pi A = 5\pi {\rm{ }}mA\)

\({\varphi _i} = {\varphi _q} + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6}\)

\( \to i = 5\pi c{\rm{os(2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \frac{{5\pi }}{6}){\rm{ mA}}\)

Tần số góc của mạch dao động: \(\omega  = \frac{1}{{\sqrt {LC} }} = \frac{1}{{\sqrt {{{4.10}^{ - 4}}{{.5.10}^{ - 12}}} }} = {10^7}rad/s\)Hướng dẫn:

Điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện: \({Q_0} = \frac{{{I_0}}}{\omega } = \frac{{{{20.10}^{ - 3}}}}{{{{10}^7}}} = {2.10^{ - 9}}C = 2{\rm{ }}nC\)

Tại \(t = 0,{\rm{ }}i = {I_0}cos{\varphi _i} = {I_0} =  > {\rm{ }}{\varphi _i} = {\rm{ }}0\)

=>\({\varphi _u} = {\varphi _i} - \frac{\pi }{2} =  - \frac{\pi }{2}\)\(\)

\( \to q = 2c{\rm{os(1}}{{\rm{0}}^7}t - \frac{\pi }{2}){\rm{ }}nC\)

5. Dạng 5. Thời điểm điện tích trện tụ biến thiên từ q1 đến q2

(Tương tự bài toán xác định thời gian vật chuyển động từ vị trí có li độ x₁ đến vị trí có li độ x₂ trong dao động điều hòa)