Trả lời câu hỏi - Hoạt động 9 trang 11

1. Nội dung câu hỏi

cos2α + sin2α và 1;

2. Phương pháp giải

Biểu diễn lên đường tròn lượng giác để biện luận.

3. Lời giải chi tiết

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) = α (hình vẽ).

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó ta có: $\widehat{AOM}=\alpha$.
Xét DOMH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:
${\mathrm{OM}}^2={\mathrm{OH}}^2+{\mathrm{MH}}^2$
Suy ra $\widehat{AOM}=\alpha$ hay $1={\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$.
Vậy ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$.

1. Nội dung câu hỏi

tanα . cotα và 1 (với cosα ≠ 0, sinα ≠ 0);

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tan và cot đã học ở lớp 9.

3. Lời giải chi tiết
Ta có $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };$ $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, (với $\cos \alpha \ne 0,\sin \alpha \ne 0$) 

Suy ra $\tan \alpha ·\cot \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }·\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=1$

1. Nội dung câu hỏi

$1+{\tan }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ với $\cos \alpha \ne 0$;

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

3. Lời giải chi tiết
Với $\cos \alpha \ne 0$, ta có:
$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\text{ do }{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\right)$

1. Nội dung câu hỏi

$1+{\cot }^2\alpha$ và $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ với $\sin a\ne 0$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức $cot\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

3. Lời giải chi tiết
Với $\cos \alpha \ne 0$, ta có:
$1+co{t}^2\alpha =1+{\left(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\text{ do }{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1\right)$