Tìm số p,q sao cho 7p+q và PQ+17 đều là số nguyên tố

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về số nguyên tố và phương trình diofantin. Trước hết, ta cần biết rằng nếu một số nguyên tố lớn hơn 2 không phải là số chẵn thì nó có dạng 6k±1 với k là một số nguyên. Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét các trường hợp của số nguyên tố đó khi chia cho 6. Tiếp theo, ta cần tìm một số nguyên p sao cho 7p+1 là số nguyên tố. Ta có thể thử các giá trị của p để tìm số nguyên tố đầu tiên. Thử với p = 1, ta có 7p+1 = 8 không phải là số nguyên tố. Thử với p = 2, ta có 7p+1 = 15 cũng không phải là số nguyên tố. Thử tiếp với p = 3, ta có 7p+1 = 22 không phải là số nguyên tố. Thử với p = 4, ta có 7p+1 = 29 là số nguyên tố. Vậy p = 4. Tiếp theo, ta cần tìm một số nguyên q sao cho PQ+17 là số nguyên tố. Ta có thể sử dụng phương trình diofantin để giải bài toán này. Phương trình diofantin là một phương trình có dạng ax+by=c với a, b, c là các số nguyên và x, y là các số nguyên không âm. Ở đây, ta có phương trình PQ+17=q(7p+1). Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm ra một cặp số nguyên (x,y) sao cho 7p+1x+qy là ước chung lớn nhất của 7p+1 và q. Sau đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 7p+1x+qy để thu được một phương trình mới có dạng q=ax+b với a và b là các số nguyên. Nếu q là số nguyên tố, thì ta đã tìm được giá trị của q. Nếu không, ta cần thử các giá trị khác cho q cho đến khi tìm được một số nguyên tố. Tóm lại, để tìm số p,q sao cho 7p+q và PQ+17 đều là số nguyên tố, ta có thể thực hiện các bước sau: 1. Thử các giá trị của p để tìm số nguyên tố đầu tiên cho 7p+1. 2. Sử dụng thuật toán Euclid mở rộng để tìm một cặp số nguyên (x,y) sao cho 7p+1x+qy là ước chung lớn nhất của 7p+1 và q. 3. Chia cả hai vế của phương trình PQ+17=q(7p+1)x+qy cho 7p+1x+qy để thu được một phương trình mới có dạng q=ax+b với a và b là các số nguyên. 4. Thử các giá trị khác cho q cho đến khi tìm được một số nguyên tố.