Cần lời giải cho tiết ý 2 phần a

a) Ta có: - $\angle AFB = 90^\circ$ (do $AF$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$) - $\angle ABD = \angle AFB$ (cùng chắn cung $AB$) - $\angle OBD = 90^\circ$ (do $BD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$) Vậy $\angle ABD = \angle OBD$, suy ra tứ giác $OBDF$ nội tiếp. b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó, ta có $OM \perp BC$ và $OM = \frac{1}{2}BC = R$. Gọi $E$ là giao điểm của $AF$ và $OM$. Khi đó, ta có: $\frac{AE}{EF} = \frac{AM}{MF} = \frac{OM}{R-OB} = \frac{1}{2-OB/R}$ Mà $AB = \frac{4.618}{3}R$, suy ra $OB = R - \frac{3}{4.618}AB = R - \frac{0.649}{3}AB$. Thay vào trên, ta được: $\frac{AE}{EF} = \frac{1}{2-\left(R-\frac{0.649}{3}AB\right)/R} = \frac{1}{1.351-0.649\times\frac{AB}{3R}}$ Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $OBDF$. Khi đó, ta có: $\frac{DI}{IF} = \frac{BD}{BF} = \frac{OB}{AF} = \frac{R-\left(R-\frac{0.649}{3}AB\right)}{R+AE} = \frac{0.649AB}{3R+2AE}$ Áp dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $OBDF$, ta được: $OD\times BF + OF\times BD = OB\times DF$ Mà $OD = OF = R$, $BF = BI$, $BD = DI + IB$, $OB = R - \frac{0.649}{3}AB$, $DF = 2R$, suy ra: $R\times BI + (R-DI)\times (DI+BI) = \left(R-\frac{0.649}{3}AB\right)\times 2R$ $\Leftrightarrow 3R^2 = DI\times \left(2R+\frac{0.649}{3}AB\right)$ $\Leftrightarrow DI = \frac{3R^2}{2R+\frac{0.649}{3}AB}$ Thay các giá trị đã tính được vào, ta có: $\frac{DI}{IF} = \frac{0.649AB}{3R+2AE} = \frac{0.649AB}{3R+2\times\frac{1}{2}\times AE} = \frac{0.649AB}{3R+AE} = \frac{0.649AB}{3R+\frac{3R^2}{2R+\frac{0.649}{3}AB}}$ $\Leftrightarrow \frac{DI}{IF} = \frac{0.649AB}{\frac{9}{2}R+\frac{3}{0.649}AB} = \frac{0.649^2}{\frac{9}{2}\times 1.351 + 3} = \frac{0.649^2}{8.027}$ Vậy tứ giác $OBDF$ có đường tròn ngoại tiếp có tâm là điểm $I$ thỏa mãn: $\frac{DI}{IF} = \frac{IB}{BF} = \frac{ID}{DB} = \frac{IF}{DI} \times \frac{BF}{IB} \times \frac{DB}{ID} = \frac{0.649^2}{8.027}$