Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF của nửa đường tròn (O) (với F là tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tại D. Biết AF = 4...

Để tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF, ta cần xác định được đường trung trực của đoạn thẳng BD. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có AM song song với BD (do AB là tia đối của tia CB). Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến AF và đường thẳng OM. Ta có: - OM vuông góc với AF (vì OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, còn AF là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại F, nên OM cũng là đường trung trực của đoạn thẳng BF). - AF = 4R/3 (đề bài cho) - OA = OB = R (vì O là tâm đường tròn (O; R)) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác OAF, ta có: $$ Do đó, EM = OF = $$. Ta có thể tính được $$ (vì BC là đường kính của đường tròn (O)). Vậy đường trung trực của BD là đường thẳng qua E và M. Gọi I là giao điểm của đường trung trực EM và tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O). Ta cần chứng minh rằng I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBDF. Ta có: - OB = OA = R - $$ - $$ (cùng chắn BF) - $$ (cùng chắn BD) Do đó, tam giác OBD và tam giác OFD đồng dạng. Từ đó suy ra: $$ $$ Vậy tọa độ của D là $$. Do I nằm trên đường trung trực EM, nên tọa độ của I là $$ với $$ là tung độ của I. Ta có: - Tia AF cắt đường trung trực EM tại I, nên $$ - $$ (cùng nằm trên đường thẳng OA) - $$ (đồng dạng tam giác) Do đó, tứ giác OBDF là tứ giác điều hòa. Vậy ta có: $$ $$ Từ đó suy ra: $$ Vậy tọa độ của I là $$. Kết hợp