GIÚP

Để hàm số có hai điểm cực trị, ta cần hệ số của bậc hai là âm. Ta có: $y=x^{3}-3m x^{2}+3(m^{2}-1)x-m^{3}+m$ $y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)$ $y''=6x-6m$ Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình $y'=0$. Ta có: $y'=3(x-m)^2-3m^2+3$ Vậy, để hàm số có hai điểm cực trị, ta cần giải phương trình: $3(x-m)^2-3m^2+3=0$ $\Leftrightarrow (x-m)^2=m^2-1$ Điều kiện để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ là: $\frac{\sqrt{(m^3-m)^2+(m^2-1)^3}}{\sqrt{(m^3-m)^2+(m^2-1)^2}}=\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow (m^3-m)^2+(m^2-1)^3=2((m^3-m)^2+(m^2-1)^2)$ $\Leftrightarrow m^6-2m^4-2m^3+4m^2-3m+1=0$ $\Leftrightarrow (m-1)^2(m^4+m^3-3m^2-2m+1)=0$ Phương trình $m^4+m^3-3m^2-2m+1=0$ không có nghiệm thực, vậy ta chỉ quan tâm đến $m=1$. Khi đó: $y=x^3-3x^2+6x-1$ $y'=3x^2-6x+6$ $y''=6x-6$ Ta có điểm cực tiểu là $(1, -3)$ và điểm cực đại là $(0, -1)$. Vậy tập hợp $S$ gồm một phần tử là $1$, và tổng các phần tử của $S$ là $1$.