giup minh voi

Câu 2: Để tính tốc độ của máy bay B, trước tiên chúng ta cần xác định tốc độ của máy bay A. Tốc độ của một máy bay được tính bằng độ dài của vectơ vận tốc của nó. Vectơ vận tốc của máy bay A là \(\overrightarrow{a} = (300; 200; 400)\). Tốc độ của máy bay A là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\), được tính bằng công thức: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{300^2 + 200^2 + 400^2} \] Tính từng phần: - \(300^2 = 90000\) - \(200^2 = 40000\) - \(400^2 = 160000\) Cộng các giá trị này lại: \[ 90000 + 40000 + 160000 = 290000 \] Do đó, độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là: \[ \|\overrightarrow{a}\| = \sqrt{290000} \] Tính giá trị này: \[ \sqrt{290000} \approx 538.52 \text{ km/h} \] Vì máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A, nên tốc độ của máy bay B là: \[ 3 \times 538.52 \approx 1615.56 \text{ km/h} \] Làm tròn đến hàng đơn vị, tốc độ của máy bay B là: \[ 1616 \text{ km/h} \] Vậy, tốc độ của máy bay B là 1616 km/h. Câu 3: Để tìm điểm \( M(a; b; c) \) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \( ABCM \), ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Trước tiên, ta tìm trung điểm của đường chéo \( AC \). Tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AC \) là: \[ I\left(\frac{1 + (-2)}{2}; \frac{2 + 3}{2}; \frac{-1 + 3}{2}\right) = I\left(-\frac{1}{2}; \frac{5}{2}; 1\right) \] Tương tự, trung điểm của đường chéo \( BM \) cũng phải là \( I \). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \( BM \) là: \[ I\left(\frac{2 + a}{2}; \frac{-1 + b}{2}; \frac{3 + c}{2}\right) \] Vì \( I \) là trung điểm của cả hai đường chéo, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} \frac{2 + a}{2} = -\frac{1}{2} \\ \frac{-1 + b}{2} = \frac{5}{2} \\ \frac{3 + c}{2} = 1 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên: 1. \(\frac{2 + a}{2} = -\frac{1}{2}\) \[ 2 + a = -1 \implies a = -3 \] 2. \(\frac{-1 + b}{2} = \frac{5}{2}\) \[ -1 + b = 5 \implies b = 6 \] 3. \(\frac{3 + c}{2} = 1\) \[ 3 + c = 2 \implies c = -1 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M(-3; 6; -1) \). Bây giờ, ta tính giá trị của \( P = a^2 + b^2 - c^2 \): \[ P = (-3)^2 + 6^2 - (-1)^2 = 9 + 36 - 1 = 44 \] Do đó, giá trị của \( P \) là \( 44 \). Câu 4: Trước hết, ta cần tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t. Vận tốc v được cho bởi đạo hàm của quãng đường s theo thời gian t: \[v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - t^3) = 12t - 3t^2.\] Tiếp theo, để tìm giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t = 3$ giây, ta cần tìm đạo hàm của vận tốc theo thời gian t và giải phương trình $\frac{dv}{dt} = 0$ để tìm các điểm dừng: \[\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t - 3t^2) = 12 - 6t.\] Giải phương trình $\frac{dv}{dt} = 0$: \[12 - 6t = 0 \implies t = 2.\] Bây giờ, ta kiểm tra giá trị của vận tốc tại các điểm dừng và tại các biên của khoảng thời gian: - Tại $t = 0$: \[v(0) = 12(0) - 3(0)^2 = 0.\] - Tại $t = 2$: \[v(2) = 12(2) - 3(2)^2 = 24 - 12 = 12.\] - Tại $t = 3$: \[v(3) = 12(3) - 3(3)^2 = 36 - 27 = 9.\] Như vậy, giá trị lớn nhất của vận tốc trong khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $t = 3$ giây là 12, đạt được khi $t = 2$ giây. Đáp án: Vận tốc v của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 2$ giây. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ điểm \( K(x; y; z) \) sao cho \( B \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ACK \). Trọng tâm của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh. Do đó, nếu \( B \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ACK \), ta có: \[ B\left( \frac{0 + 4 + x}{3}; \frac{-1 + (-2) + y}{3}; \frac{1 + 3 + z}{3} \right) = B(2; -3; 2) \] Từ đó, ta thiết lập các phương trình cho từng tọa độ: 1. Tọa độ \( x \): \[ \frac{0 + 4 + x}{3} = 2 \implies 4 + x = 6 \implies x = 2 \] 2. Tọa độ \( y \): \[ \frac{-1 + (-2) + y}{3} = -3 \implies -3 + y = -9 \implies y = -6 \] 3. Tọa độ \( z \): \[ \frac{1 + 3 + z}{3} = 2 \implies 4 + z = 6 \implies z = 2 \] Vậy tọa độ của điểm \( K \) là \( K(2; -6; 2) \). Tổng bình phương tọa độ của điểm \( K \) là: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 2^2 + (-6)^2 + 2^2 = 4 + 36 + 4 = 44 \] Do đó, tổng bình phương tọa độ điểm \( K \) là \( 44 \). Câu 6: Bước 1: Tìm số liệu đại diện của mỗi khoảng điểm: - Khoảng [5;6): Số liệu đại diện là 5.5 - Khoảng [6;7): Số liệu đại diện là 6.5 - Khoảng [7;8): Số liệu đại diện là 7.5 - Khoảng [8;9): Số liệu đại diện là 8.5 - Khoảng [9;10): Số liệu đại diện là 9.5 Bước 2: Tính tổng số học sinh trong lớp 11A: Tổng số học sinh = 1 + 0 + 11 + 22 + 6 = 40 Bước 3: Tính điểm trung bình của lớp 11A: Điểm trung bình = (5.5 1 + 6.5 0 + 7.5 11 + 8.5 22 + 9.5 6) / 40 = (5.5 + 0 + 82.5 + 187 + 57) / 40 = 332 / 40 = 8.3 Bước 4: Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn = sqrt[(Σ(xi - x̄)^2 fi) / N] Trong đó: - xi là số liệu đại diện của mỗi khoảng điểm - x̄ là điểm trung bình - fi là tần số của mỗi khoảng điểm - N là tổng số học sinh Độ lệch chuẩn = sqrt[((5.5 - 8.3)^2 1 + (6.5 - 8.3)^2 0 + (7.5 - 8.3)^2 11 + (8.5 - 8.3)^2 22 + (9.5 - 8.3)^2 6) / 40] = sqrt[((-2.8)^2 1 + (-1.8)^2 0 + (-0.8)^2 11 + (0.2)^2 22 + (1.2)^2 6) / 40] = sqrt[(7.84 1 + 3.24 0 + 0.64 11 + 0.04 22 + 1.44 6) / 40] = sqrt[(7.84 + 0 + 7.04 + 0.88 + 8.64) / 40] = sqrt[24.4 / 40] = sqrt[0.61] = 0.781 Làm tròn đến hàng phần mười, độ lệch chuẩn là 0.8. Đáp án: Độ lệch chuẩn là 0.8. Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( f(x) = \frac{3x-1}{x-3} \) trên đoạn \([0;2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{3x-1}{x-3} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(3)(x-3) - (3x-1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{3x - 9 - 3x + 1}{(x-3)^2} = \frac{-8}{(x-3)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{-8}{(x-3)^2} \] Vì \((x-3)^2 > 0\) với mọi \( x \neq 3 \), nên \( f'(x) < 0 \) trên toàn bộ miền xác định của \( f(x) \). Điều này có nghĩa là hàm số \( f(x) \) luôn giảm trên đoạn \([0;2]\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các đầu mút của đoạn \([0;2]\): \[ f(0) = \frac{3(0) - 1}{0 - 3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] \[ f(2) = \frac{3(2) - 1}{2 - 3} = \frac{6 - 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất \( M \) của hàm số trên đoạn \([0;2]\) là \( \frac{1}{3} \). - Giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số trên đoạn \([0;2]\) là \( -5 \). Vậy, giá trị lớn nhất \( M \) và giá trị nhỏ nhất \( m \) của hàm số \( f(x) = \frac{3x-1}{x-3} \) trên đoạn \([0;2]\) lần lượt là: \[ M = \frac{1}{3}, \quad m = -5 \] Câu 2: Giả sử công ty tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm \( x \) lần, mỗi lần tăng thêm 100 000 đồng. Khi đó, giá cho thuê mỗi căn hộ sẽ là: \[ 2\,000\,000 + 100\,000x \] Số lượng căn hộ bị bỏ trống sẽ là: \[ 5x \] Do đó, số lượng căn hộ còn lại để cho thuê là: \[ 150 - 5x \] Lợi nhuận của công ty từ việc cho thuê căn hộ trong một tháng là: \[ P = (2\,000\,000 + 100\,000x)(150 - 5x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để lợi nhuận \( P \) đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Mở rộng biểu thức lợi nhuận: \[ P = (2\,000\,000 + 100\,000x)(150 - 5x) \] \[ P = 2\,000\,000 \cdot 150 - 2\,000\,000 \cdot 5x + 100\,000x \cdot 150 - 100\,000x \cdot 5x \] \[ P = 300\,000\,000 - 10\,000\,000x + 15\,000\,000x - 500\,000x^2 \] \[ P = 300\,000\,000 + 5\,000\,000x - 500\,000x^2 \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( P = -500\,000x^2 + 5\,000\,000x + 300\,000\,000 \). Hàm số này là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -500\,000 \), \( b = 5\,000\,000 \), và \( c = 300\,000\,000 \). Hàm này đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol, tức là tại: \[ x = -\frac{b}{2a} \] \[ x = -\frac{5\,000\,000}{2(-500\,000)} \] \[ x = \frac{5\,000\,000}{1\,000\,000} \] \[ x = 5 \] Bước 3: Thay \( x = 5 \) vào biểu thức số lượng căn hộ còn lại để cho thuê: \[ 150 - 5x = 150 - 5 \cdot 5 = 150 - 25 = 125 \] Vậy, để có lợi nhuận cao nhất, công ty nên cho thuê 125 căn hộ trong một tháng. Câu 3: Để tính khoảng cách từ điểm treo bóng đèn đến góc phòng học, ta cần xác định tọa độ của hai điểm trong hệ trục tọa độ Oxyz. 1. Tọa độ của góc phòng học O: - Điểm O trùng với một góc của phòng học, nên tọa độ của O là \( (0, 0, 0) \). 2. Tọa độ của điểm treo bóng đèn: - Bóng đèn được treo tại chính giữa trần nhà. Do đó, tọa độ của điểm treo bóng đèn là: - Trục x: chính giữa chiều dài 10 m, nên \( x = \frac{10}{2} = 5 \). - Trục y: chính giữa chiều rộng 8 m, nên \( y = \frac{8}{2} = 4 \). - Trục z: chiều cao của phòng là 4 m, nên \( z = 4 \). Vậy tọa độ của điểm treo bóng đèn là \( (5, 4, 4) \). 3. Tính khoảng cách: - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] - Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 4^2} \] \[ d = \sqrt{25 + 16 + 16} = \sqrt{57} \] 4. Làm tròn kết quả: - Tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{57}\): \[ \sqrt{57} \approx 7.55 \] Vậy, khoảng cách từ điểm treo bóng đèn đến góc phòng học là khoảng \(7.55\) mét. Câu 4: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính khoảng cách giữa các cột: - Khoảng cách giữa các cột là 0.5 m. 2. Tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng: - Giá trị đại diện cho khoảng [19; 19,5) là 19.25 - Giá trị đại diện cho khoảng [19,5; 20) là 19.75 - Giá trị đại diện cho khoảng [20; 20,5) là 20.25 - Giá trị đại diện cho khoảng [20,5; 21) là 20.75 - Giá trị đại diện cho khoảng [21; 21,5) là 21.25 3. Tính tổng số lần ném tạ: - Tổng số lần ném tạ là 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100 4. Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu: - Giá trị trung bình = (19.25 13 + 19.75 45 + 20.25 24 + 20.75 12 + 21.25 6) / 100 - Giá trị trung bình = (250.25 + 888.75 + 486 + 249 + 127.5) / 100 - Giá trị trung bình = 1999.5 / 100 - Giá trị trung bình = 19.995 5. Tính phương sai của mẫu số liệu: - Phương sai = [(19.25 - 19.995)^2 13 + (19.75 - 19.995)^2 45 + (20.25 - 19.995)^2 24 + (20.75 - 19.995)^2 12 + (21.25 - 19.995)^2 6] / 100 - Phương sai = [(0.745)^2 13 + (0.245)^2 45 + (0.255)^2 24 + (0.755)^2 12 + (1.255)^2 6] / 100 - Phương sai = [0.555025 13 + 0.060025 45 + 0.065025 24 + 0.570025 12 + 1.575025 6] / 100 - Phương sai = [7.215325 + 2.701125 + 1.5606 + 6.8403 + 9.45015] / 100 - Phương sai = 27.7675 / 100 - Phương sai = 0.277675 6. Làm tròn phương sai đến hàng phần trăm: - Phương sai = 0.28 Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0.28. Câu 5: Để tính quãng đường máy bay đi được sau 30 phút kể từ lúc ra đa phát hiện, ta cần xác định vận tốc của máy bay và sau đó tính quãng đường dựa trên vận tốc này. Bước 1: Tính vận tốc của máy bay Máy bay di chuyển từ điểm M(1000; 600; 4) đến điểm Q(1400; 800; 16) trong 30 phút. Ta có thể tính vận tốc của máy bay bằng cách xác định vector chuyển động từ M đến Q. Vector \(\overrightarrow{MQ}\) có tọa độ: \[ \overrightarrow{MQ} = (1400 - 1000; 800 - 600; 16 - 4) = (400; 200; 12) \] Độ dài của vector \(\overrightarrow{MQ}\) chính là quãng đường máy bay đi được trong 30 phút: \[ |\overrightarrow{MQ}| = \sqrt{400^2 + 200^2 + 12^2} \] Tính toán: \[ 400^2 = 160000, \quad 200^2 = 40000, \quad 12^2 = 144 \] \[ |\overrightarrow{MQ}| = \sqrt{160000 + 40000 + 144} = \sqrt{200144} \] Tính căn bậc hai: \[ \sqrt{200144} \approx 447.37 \] Bước 2: Tính quãng đường máy bay đi được sau 30 phút kể từ lúc ra đa phát hiện Vì máy bay di chuyển với vận tốc không đổi, quãng đường máy bay đi được trong 30 phút đầu tiên cũng chính là độ dài của vector \(\overrightarrow{MQ}\). Do đó, quãng đường máy bay đi được sau 30 phút kể từ lúc ra đa phát hiện là: \[ \boxed{447 \text{ km}} \] Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị. Câu 6: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ điểm N(a; b; c) dựa vào thông tin về chuyển động của máy bay. Bước 1: Tính vận tốc của máy bay Máy bay di chuyển từ điểm M(1000; 600; 14) đến điểm Q(1400; 800; 18) trong 40 phút (30 phút từ M đến N và 10 phút từ N đến Q). Ta có thể tính vận tốc của máy bay theo từng trục tọa độ. - Tính vận tốc theo trục x: \[ v_x = \frac{1400 - 1000}{40} = \frac{400}{40} = 10 \text{ km/phút} \] - Tính vận tốc theo trục y: \[ v_y = \frac{800 - 600}{40} = \frac{200}{40} = 5 \text{ km/phút} \] - Tính vận tốc theo trục z: \[ v_z = \frac{18 - 14}{40} = \frac{4}{40} = 0.1 \text{ km/phút} \] Bước 2: Tính tọa độ điểm N(a; b; c) Máy bay di chuyển từ M đến N trong 30 phút, do đó tọa độ của điểm N có thể được tính như sau: - Tọa độ x của N: \[ a = 1000 + 30 \times 10 = 1000 + 300 = 1300 \] - Tọa độ y của N: \[ b = 600 + 30 \times 5 = 600 + 150 = 750 \] - Tọa độ z của N: \[ c = 14 + 30 \times 0.1 = 14 + 3 = 17 \] Bước 3: Tính tổng a + b + c Tổng của các tọa độ a, b, c là: \[ a + b + c = 1300 + 750 + 17 = 2067 \] Vậy, \( a + b + c = 2067 \).