giúp mình câu này với

Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để đường thẳng \(d: y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{3x+2}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là: \[ 2x + m = \frac{3x + 2}{x - 1} \] Quy đồng mẫu và giải phương trình: \[ (2x + m)(x - 1) = 3x + 2 \] \[ 2x^2 + (m - 2)x - m = 3x + 2 \] \[ 2x^2 + (m - 5)x - m - 2 = 0 \] Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt, phương trình bậc hai này phải có hai nghiệm phân biệt, tức là: \[ \Delta = (m - 5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m - 2) > 0 \] \[ \Delta = (m - 5)^2 + 8m + 16 > 0 \] \[ \Delta = m^2 - 10m + 25 + 8m + 16 > 0 \] \[ \Delta = m^2 - 2m + 41 > 0 \] Phương trình này luôn dương với mọi \(m\) vì \(\Delta\) là một hàm bậc hai có \(\Delta' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 4 - 164 = -160 < 0\). Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\). Bước 2: Tìm điều kiện để trọng tâm \(\Delta OCD\) thuộc đường thẳng \(\Delta: 2x - y - 4 = 0\). Gọi \(C(x_1, y_1)\) và \(D(x_2, y_2)\) là hai điểm giao của đường thẳng và đồ thị hàm số. Khi đó, tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(\Delta OCD\) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2}{3}, \frac{y_1 + y_2}{3}\right) \] Trọng tâm \(G\) thuộc đường thẳng \(\Delta: 2x - y - 4 = 0\) khi: \[ 2\left(\frac{x_1 + x_2}{3}\right) - \frac{y_1 + y_2}{3} - 4 = 0 \] \[ \frac{2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2)}{3} = 4 \] \[ 2(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = 12 \] Từ phương trình hoành độ giao điểm, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{m-5}{2} \] \[ x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{m+2}{2} \] Và từ \(y_1 = 2x_1 + m\), \(y_2 = 2x_2 + m\), ta có: \[ y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 2m \] Thay vào điều kiện: \[ 2\left(-\frac{m-5}{2}\right) - (2(-\frac{m-5}{2}) + 2m) = 12 \] \[ -(m-5) - (-m + 5 + 2m) = 12 \] \[ -m + 5 + m - 5 - 2m = 12 \] \[ -2m = 12 \] \[ m = -6 \] Vậy giá trị thực của tham số \(m\) để thỏa mãn điều kiện bài toán là \(m = -6\).