tìm số tự nhiên n ạ

Ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức để giải bài toán này. Để tìm số tự nhiên $n$ sao cho biểu thức $B=\frac{n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2}{n^{2}+?}$ là một số nguyên, ta cần tìm giá trị của $n^2+?$ sao cho $n^2+?$ là ước của $n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2$. Ta có thể sử dụng thuật toán Euclid để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức. Áp dụng thuật toán này, ta có: \begin{align*} n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2 &= (n^{2}+2n+1)(n^{2}+n-2) + 4n-3 \\ n^{2}+n-2 &= \frac{1}{4}(4n-8) + 6 \end{align*} Do đó, $n^2+?$ sẽ là một trong các giá trị sau: $n^{2}+2n+1$, $n^{2}+n-2$, $4n-3$, hoặc $6$. Tuy nhiên, ta chỉ cần xét các giá trị $n^{2}+2n+1$ và $n^{2}+n-2$, vì khi $n$ đủ lớn thì $4n-3$ và $6$ không thể là ước của $n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2$. Nếu $n^{2}+2n+1$ là ước của $n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2$, ta có: $\frac{n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2}{n^{2}+2n+1} = n^{2}+n-1$ Nếu $n^{2}+n-2$ là ước của $n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2$, ta có: $\frac{n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2}{n^{2}+n-2} = n^{2}+4n+7 - \frac{12}{n^{2}+n-2}$ Vậy, để biểu thức $B=\frac{n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2}{n^{2}+?}$ là một số nguyên, ta cần tìm giá trị của $n$ sao cho $n^{2}+?$ là một trong các giá trị sau: $n^{2}+2n+1$ hoặc $n^{2}+n-2$, và $n^{2}+?$ là ước của $n^{4}+3n^{3}+2n^{2}+6n-2$.