cho hàm số y=x⁴ - 2mx² + 2m + m⁴. tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

Để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời, ta cần tìm điểm u và v sao cho: - Điểm u là điểm cực đại của hàm số. - Điểm v là điểm cực tiểu của hàm số. - Khoảng cách giữa u và v bằng 2a, trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: y' = 4x³ - 4mx Để tìm điểm cực đại và cực tiểu, ta giải phương trình y' = 0: 4x³ - 4mx = 0 Simplifying this equation, we get: x(x² - m) = 0 Phương trình này có ba nghiệm: x = 0, x = √m và x = -√m. Tiếp theo, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm này: y(0) = m⁴ + 2m y(√m) = m⁴ y(-√m) = m⁴ Như vậy, điểm u là điểm cực đại của hàm số khi m = 1, vì lúc này hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 0 với giá trị là m⁴ + 2m. Điểm v là điểm cực tiểu của hàm số khi m = 0, vì lúc này hàm số đạt giá trị cực tiểu tại x = 0 với giá trị là 0. Khi m = 1 và m = 0, ta có: - Điểm u: (0, 2) - Điểm v: (0, 0) Khoảng cách giữa hai điểm này là 2a, trong đó a là độ dài cạnh của tam giác đều. Vì khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2, nên a = 1. Vậy, để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều, ta cần tìm m = 1 hoặc m = 0.