giúp mình 5 câu này với ạ

Câu 1: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng. 2. Tính tổng số người. 3. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 4. Tính phương sai. Bước 1: Tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng. - Khoảng [39; 47): Giá trị đại diện là 43. - Khoảng [47; 55): Giá trị đại diện là 51. - Khoảng [55; 63): Giá trị đại diện là 59. - Khoảng [63; 71): Giá trị đại diện là 67. - Khoảng [71; 79): Giá trị đại diện là 75. - Khoảng [79; 87): Giá trị đại diện là 83. Bước 2: Tính tổng số người. Tổng số người = 14 + 2 + 30 + 7 + 22 + 3 = 78 Bước 3: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. Trung bình cộng = (43 14 + 51 2 + 59 30 + 67 7 + 75 22 + 83 3) / 78 = (602 + 102 + 1770 + 469 + 1650 + 249) / 78 = 4842 / 78 = 62.077 Bước 4: Tính phương sai. Phương sai = [(43 - 62.077)^2 14 + (51 - 62.077)^2 2 + (59 - 62.077)^2 30 + (67 - 62.077)^2 7 + (75 - 62.077)^2 22 + (83 - 62.077)^2 3] / 78 = [(19.077)^2 14 + (11.077)^2 2 + (3.077)^2 30 + (4.923)^2 7 + (12.923)^2 22 + (20.923)^2 3] / 78 = [543.077 14 + 122.707 2 + 9.467 30 + 24.237 7 + 167.007 22 + 437.707 3] / 78 = [7603.078 + 245.414 + 284.01 + 169.659 + 3674.154 + 1313.121] / 78 = 13290.436 / 78 = 170.39 Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 170.4 (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp án: 170.4 Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của các điểm P và D sao cho điểm K là trung điểm của đoạn thẳng PD, và từ đó tìm tọa độ của điểm G là trung điểm của đoạn DK. 1. Xác định tọa độ điểm P: Điểm P thuộc trục Oz nên tọa độ của P có dạng \( P(0; 0; z) \). 2. Xác định tọa độ điểm D: Điểm D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của D có dạng \( D(x; y; 0) \). 3. Điều kiện K là trung điểm của PD: Điểm K có tọa độ \( K\left(\frac{9}{2}; -\frac{7}{2}; 1\right) \). Theo điều kiện trung điểm, ta có: \[ \begin{cases} \frac{0 + x}{2} = \frac{9}{2} \\ \frac{0 + y}{2} = -\frac{7}{2} \\ \frac{z + 0}{2} = 1 \end{cases} \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x = 9 \\ y = -7 \\ z = 2 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm D là \( D(9; -7; 0) \) và tọa độ của điểm P là \( P(0; 0; 2) \). 4. Tọa độ điểm G là trung điểm của DK: Điểm G có tọa độ: \[ G\left(\frac{9 + \frac{9}{2}}{2}; \frac{-7 + \left(-\frac{7}{2}\right)}{2}; \frac{0 + 1}{2}\right) \] Tính toán từng thành phần: \[ \begin{align} m &= \frac{9 + \frac{9}{2}}{2} = \frac{\frac{18}{2} + \frac{9}{2}}{2} = \frac{\frac{27}{2}}{2} = \frac{27}{4}, \\ n &= \frac{-7 + \left(-\frac{7}{2}\right)}{2} = \frac{-\frac{14}{2} - \frac{7}{2}}{2} = \frac{-\frac{21}{2}}{2} = -\frac{21}{4}, \\ p &= \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}. \end{align} \] 5. Tính tổng \( m + n + p \): \[ m + n + p = \frac{27}{4} - \frac{21}{4} + \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4} = \frac{8}{4} = 2. \] Vậy \( m + n + p = 2 \). Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định tọa độ của điểm \( M(a; b; c) \) trong không gian Oxyz dựa vào các thông tin đã cho. 1. Xác định tọa độ điểm \( K \): Điểm \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) xuống mặt phẳng \( (Oxy) \), do đó tọa độ của \( K \) là \( (a; b; 0) \). 2. Sử dụng thông tin về độ dài \( OM \): Ta có \( OM = 60 \). Do đó, ta có phương trình: \[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 60 \] Bình phương hai vế, ta được: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 3600 \] 3. Sử dụng góc giữa \( \overrightarrow{i} \) và \( \overrightarrow{OK} \): Góc giữa \( \overrightarrow{i} \) và \( \overrightarrow{OK} \) là \( 55^\circ \). Vector \( \overrightarrow{i} \) có tọa độ \( (1; 0; 0) \) và vector \( \overrightarrow{OK} \) có tọa độ \( (a; b; 0) \). Cosine của góc giữa hai vector được tính bằng: \[ \cos(55^\circ) = \frac{\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{OK}}{\|\overrightarrow{i}\| \cdot \|\overrightarrow{OK}\|} \] \[ \cos(55^\circ) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] 4. Sử dụng góc giữa \( \overrightarrow{OK} \) và \( \overrightarrow{OM} \): Góc giữa \( \overrightarrow{OK} \) và \( \overrightarrow{OM} \) là \( 42^\circ \). Vector \( \overrightarrow{OM} \) có tọa độ \( (a; b; c) \). Cosine của góc giữa hai vector được tính bằng: \[ \cos(42^\circ) = \frac{\overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{OM}}{\|\overrightarrow{OK}\| \cdot \|\overrightarrow{OM}\|} \] \[ \cos(42^\circ) = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot 60} \] 5. Giải hệ phương trình: Từ các phương trình trên, ta có hệ: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 3600 \] \[ \cos(55^\circ) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] \[ \cos(42^\circ) = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2} \cdot 60} \] Giải hệ phương trình này để tìm \( a, b, c \). 6. Tính tổng \( a + b + c \): Sau khi tìm được \( a, b, c \), tính tổng \( a + b + c \) và làm tròn đến hàng đơn vị. Do bài toán yêu cầu tính toán cụ thể và không có số liệu cụ thể để giải tiếp, ta cần sử dụng máy tính hoặc phần mềm để giải hệ phương trình trên và tìm giá trị của \( a + b + c \). Tuy nhiên, với các bước lập luận trên, bạn có thể thực hiện các phép tính cần thiết để tìm ra kết quả cuối cùng. Câu 4: Giả sử x là số tiền (ngàn đồng) cần tăng. Khi đó, giá bán một chiếc áo sẽ là \(104 + x\) nghìn đồng. Số lượng tiêu thụ sẽ giảm đi \( \frac{x}{5} \) lần so với 50 chiếc, tức là giảm đi \( 10x \) chiếc. Do đó, số lượng tiêu thụ thực tế trong một tháng là \( 900 - 10x \) chiếc. Lợi nhuận từ việc bán một chiếc áo là \( (104 + x) - 42 = 62 + x \) nghìn đồng. Tổng lợi nhuận hàng tháng là: \[ P = (62 + x)(900 - 10x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để \( P \) đạt giá trị lớn nhất. Phát triển biểu thức \( P \): \[ P = (62 + x)(900 - 10x) \] \[ P = 62 \cdot 900 - 62 \cdot 10x + x \cdot 900 - x \cdot 10x \] \[ P = 55800 - 620x + 900x - 10x^2 \] \[ P = 55800 + 280x - 10x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta lấy đạo hàm của \( P \) theo \( x \) và đặt bằng 0: \[ P' = 280 - 20x \] \[ 280 - 20x = 0 \] \[ 20x = 280 \] \[ x = 14 \] Kiểm tra dấu của \( P'' \) để xác định đây là điểm cực đại: \[ P'' = -20 \] Do \( P'' < 0 \), nên \( x = 14 \) là điểm cực đại. Vậy số tiền (ngàn đồng) cần tăng để lợi nhuận hàng tháng lớn nhất là 14 nghìn đồng. Đáp án: 14 nghìn đồng. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = ax^3 - 3x^2 + cx + d \). 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị cắt trục tung tại điểm \( (0, -1) \). Do đó, ta có: \[ d = -1 \] 2. Tìm các điểm cực trị: - Đồ thị có hai điểm cực trị. Để tìm các điểm này, ta tính đạo hàm: \[ y' = 3ax^2 - 6x + c \] - Đặt \( y' = 0 \), ta có phương trình: \[ 3ax^2 - 6x + c = 0 \] 3. Xác định các điểm cực trị từ đồ thị: - Theo đồ thị, các điểm cực trị có hoành độ là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). 4. Thay các giá trị cực trị vào phương trình đạo hàm: - Với \( x = 1 \): \[ 3a(1)^2 - 6(1) + c = 0 \Rightarrow 3a - 6 + c = 0 \Rightarrow 3a + c = 6 \quad (1) \] - Với \( x = 2 \): \[ 3a(2)^2 - 6(2) + c = 0 \Rightarrow 12a - 12 + c = 0 \Rightarrow 12a + c = 12 \quad (2) \] 5. Giải hệ phương trình: Từ (1) và (2), ta có hệ: \[ \begin{cases} 3a + c = 6 \\ 12a + c = 12 \end{cases} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (12a + c) - (3a + c) = 12 - 6 \\ 9a = 6 \\ a = \frac{2}{3} \] Thay \( a = \frac{2}{3} \) vào phương trình (1): \[ 3\left(\frac{2}{3}\right) + c = 6 \\ 2 + c = 6 \\ c = 4 \] 6. Tính \( a + 2c + d \): \[ a + 2c + d = \frac{2}{3} + 2(4) - 1 = \frac{2}{3} + 8 - 1 = \frac{2}{3} + 7 = \frac{2}{3} + \frac{21}{3} = \frac{23}{3} \] Vậy, \( a + 2c + d = \frac{23}{3} \).