giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 1: Để giải quyết các mệnh đề liên quan đến hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi \( x \neq 1 \). a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;2)\): Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - 1)(1)}{(x - 1)^2} \] Rút gọn: \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1} \] Xét dấu của \( y' \) trên khoảng \((0;2)\): - Với \( x \in (0, 1) \), \( y' < 0 \) (vì \( x + 1 > 0 \) và \( x - 1 < 0 \)). - Với \( x \in (1, 2) \), \( y' > 0 \) (vì \( x + 1 > 0 \) và \( x - 1 > 0 \)). Kết luận: Hàm số không nghịch biến trên khoảng \((0;2)\). Mệnh đề a) sai. b) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình \( x = 1 \): Khi \( x \to 1 \), mẫu số tiến về 0, do đó hàm số có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). Kết luận: Mệnh đề b) đúng. c) Hàm số có hai điểm cực trị: Xét phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x + 1}{x - 1} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Với \( x = -1 \), hàm số có một điểm cực trị. Không có điểm nào khác thỏa mãn \( y' = 0 \). Kết luận: Mệnh đề c) sai. d) Đồ thị (C) như hình vẽ sau: Quan sát hình vẽ: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Đồ thị có dạng hyperbol với một nhánh đi qua gốc tọa độ và một nhánh khác nằm ở góc phần tư thứ tư. Kết luận: Mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tìm hàm vận tốc và hàm gia tốc 1. Hàm vận tốc: Vận tốc là đạo hàm của tọa độ theo thời gian. Do đó, ta có: \[ v(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 12t + 3) = 3t^2 - 12 \] Điều kiện xác định là \(t \geq 0\). 2. Hàm gia tốc: Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Do đó, ta có: \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 12) = 6t \] Điều kiện xác định là \(t \geq 0\). b) Xác định chiều chuyển động của hạt - Hạt chuyển động lên trên khi vận tốc dương: \(v(t) > 0\). \[ 3t^2 - 12 > 0 \implies t^2 > 4 \implies t > 2 \quad (\text{vì } t \geq 0) \] - Hạt chuyển động xuống dưới khi vận tốc âm: \(v(t) < 0\). \[ 3t^2 - 12 < 0 \implies t^2 < 4 \implies 0 \leq t < 2 \] c) Tính quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 < t < 3\) Quãng đường đi được là tích phân của giá trị tuyệt đối của vận tốc trong khoảng thời gian đã cho: \[ S = \int_{0}^{3} |v(t)| \, dt \] Ta cần xét dấu của \(v(t)\) trong khoảng \(0 < t < 3\): - Với \(0 < t < 2\), \(v(t) < 0\). - Với \(2 < t < 3\), \(v(t) > 0\). Do đó, quãng đường đi được là: \[ S = \int_{0}^{2} -v(t) \, dt + \int_{2}^{3} v(t) \, dt \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{2} -v(t) \, dt = \int_{0}^{2} -(3t^2 - 12) \, dt = \int_{0}^{2} (12 - 3t^2) \, dt \] \[ = \left[ 12t - t^3 \right]_{0}^{2} = (24 - 8) - (0 - 0) = 16 \] \[ \int_{2}^{3} v(t) \, dt = \int_{2}^{3} (3t^2 - 12) \, dt \] \[ = \left[ t^3 - 12t \right]_{2}^{3} = (27 - 36) - (8 - 24) = -9 + 16 = 7 \] Tổng quãng đường: \[ S = 16 + 7 = 23 \text{ m} \] d) Xác định khi nào hạt tăng tốc và giảm tốc - Hạt tăng tốc khi vận tốc và gia tốc cùng dấu. - Hạt giảm tốc khi vận tốc và gia tốc trái dấu. - Với \(t > 2\), \(v(t) > 0\) và \(a(t) > 0\), hạt tăng tốc. - Với \(0 < t < 2\), \(v(t) < 0\) và \(a(t) > 0\), hạt giảm tốc. Kết luận: - Hạt chuyển động lên trên khi \(t > 2\). - Hạt chuyển động xuống dưới khi \(0 < t < 2\). - Quãng đường hạt đi được trong khoảng \(0 < t < 3\) là 23 m. - Hạt tăng tốc khi \(t > 2\) và giảm tốc khi \(0 < t < 2\). Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta cần xác định tọa độ các điểm dựa trên hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với điểm A. a) Tọa độ điểm A' là \((0;0;3)\). Điểm A' nằm trên trục z, cách A một đoạn bằng chiều cao của hình hộp chữ nhật. Do đó, tọa độ của A' là \((0;0;3)\). b) Độ dài đoạn thẳng BD bằng 14 m. Điểm B có tọa độ \((8;0;0)\) và điểm D có tọa độ \((0;6;0)\). Độ dài đoạn BD được tính bằng công thức: \[ BD = \sqrt{(8-0)^2 + (0-6)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{m} \] Vậy độ dài đoạn BD là 10 m, không phải 14 m. c) Tọa độ của B'D là Điểm B' có tọa độ \((8;0;3)\) và điểm D có tọa độ \((0;6;0)\). Độ dài đoạn B'D được tính bằng công thức: \[ B'D = \sqrt{(8-0)^2 + (0-6)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 36 + 9} = \sqrt{109} \] d) Tọa độ của điểm treo chiếc quạt là \((4;3;3)\). Điểm giữa trần nhà là trung điểm của đoạn A'C'. Tọa độ của A' là \((0;0;3)\) và C' là \((8;6;3)\). Trung điểm của A'C' có tọa độ: \[ \left(\frac{0+8}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = (4;3;3) \] Vậy tọa độ của điểm treo chiếc quạt là \((4;3;3)\).