Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho A(0;-1;1), B(-2;1;-1), C(-1;3;2) D(-1;0;0).

a) Ba điểm A, B,C không thẳng hàng.

b) Ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Question

Câu 6: Trong không gian Oxyz, cho A(0;-1;1), B(-2;1;-1), C(-1;3;2) D(-1;0;0).

a) Ba điểm A, B,C không thẳng hàng.

b) Ba điểm A, B, D thẳng hàng.

Nguyễn Anh Quyến · Accepted Answer

Timi · Answer

Câu 6:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra tính thẳng hàng của các điểm trong không gian Oxyz.

a) Kiểm tra ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không

Để ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$ không được cùng phương.

- Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$:
  $$
  \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 0, 1 - (-1), -1 - 1) = (-2, 2, -2)
  $$

- Tính vectơ $\overrightarrow{AC}$:
  $$
  \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (-1 - 0, 3 - (-1), 2 - 1) = (-1, 4, 1)
  $$

- Kiểm tra tính cùng phương của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
  $$
  \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC} \Rightarrow (-2, 2, -2) = k \cdot (-1, 4, 1)
  $$

Giải hệ phương trình:
  $$
  \begin{cases}
  -2 = -k \
  2 = 4k \
  -2 = k
  \end{cases}
  $$

Từ phương trình thứ nhất, ta có $k = 2$. Từ phương trình thứ hai, ta có $k = \frac{1}{2}$. Hai giá trị $k$ không bằng nhau, do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy, ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Kiểm tra ba điểm A, B, D có thẳng hàng hay không

Để ba điểm A, B, D thẳng hàng, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{AD}$ phải cùng phương.

- Tính vectơ $\overrightarrow{AD}$:
  $$
  \overrightarrow{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A, z_D - z_A) = (-1 - 0, 0 - (-1), 0 - 1) = (-1, 1, -1)
  $$

- Kiểm tra tính cùng phương của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$:
  $$
  \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AD} \Rightarrow (-2, 2, -2) = k \cdot (-1, 1, -1)
  $$

Giải hệ phương trình:
  $$
  \begin{cases}
  -2 = -k \
  2 = k \
  -2 = -k
  \end{cases}
  $$

Từ phương trình thứ nhất, ta có $k = 2$. Từ phương trình thứ hai, ta cũng có $k = 2$. Từ phương trình thứ ba, ta có $k = 2$. Các giá trị $k$ đều bằng nhau, do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ cùng phương.

Vậy, ba điểm A, B, D thẳng hàng.