giúp toi câu trả lời chính xác nhất

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng lựa chọn một cách chi tiết. A. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}\). Điều này đúng nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trọng tâm của tam giác là điểm mà tổng các vectơ từ trọng tâm đến các đỉnh của tam giác bằng vectơ không. Do đó, lựa chọn A là đúng nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). B. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\). Điều này chỉ đúng nếu \(G\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\), nhưng trong không gian ba chiều, không có khái niệm trọng tâm như trong mặt phẳng. Do đó, lựa chọn B không chính xác trong ngữ cảnh này. C. \(\overrightarrow{GD} - \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{AD}\). Điều này đúng theo định nghĩa của phép trừ vectơ. Vectơ \(\overrightarrow{GD}\) trừ đi vectơ \(\overrightarrow{GA}\) chính là vectơ \(\overrightarrow{AD}\). Do đó, lựa chọn C là đúng. D. \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{DG}\). Điều này đúng nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(D\) là một điểm bất kỳ. Trong trường hợp này, tổng các vectơ từ \(D\) đến các đỉnh của tam giác sẽ bằng ba lần vectơ từ \(D\) đến trọng tâm \(G\). Do đó, lựa chọn D là đúng nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Tóm lại, các lựa chọn đúng là A, C và D. Câu 2: Để tìm tọa độ của điểm \( M \) trong không gian \( Oxyz \), ta cần hiểu rằng tọa độ của điểm \( M \) chính là các hệ số của các vector đơn vị \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), và \(\overrightarrow{k}\) trong biểu thức của vector \(\overrightarrow{OM}\). Cho \(\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j} - 4\overrightarrow{k}\). Điều này có nghĩa là: - Hệ số của \(\overrightarrow{i}\) là 2, tương ứng với hoành độ của điểm \( M \). - Hệ số của \(\overrightarrow{j}\) là 3, tương ứng với tung độ của điểm \( M \). - Hệ số của \(\overrightarrow{k}\) là -4, tương ứng với cao độ của điểm \( M \). Vậy tọa độ của điểm \( M \) là \((2; 3; -4)\). Do đó, đáp án đúng là \( B.~(2; 3; -4) \). Câu 3: Để tìm tọa độ của trọng tâm tam giác \( MNP \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của tam giác có các đỉnh \( M(x_1, y_1, z_1) \), \( N(x_2, y_2, z_2) \), \( P(x_3, y_3, z_3) \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng công thức trên cho tam giác \( MNP \) với các tọa độ đã cho: - \( M(2, -3, 4) \) - \( N(1, 2, 3) \) - \( P(3, -2, 2) \) Tọa độ của trọng tâm \( G \) là: \[ G\left(\frac{2 + 1 + 3}{3}, \frac{-3 + 2 - 2}{3}, \frac{4 + 3 + 2}{3}\right) \] Tính từng thành phần: - Hoành độ: \(\frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2\) - Tung độ: \(\frac{-3 + 2 - 2}{3} = \frac{-3}{3} = -1\) - Cao độ: \(\frac{4 + 3 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3\) Vậy tọa độ của trọng tâm \( G \) là \( (2, -1, 3) \). Do đó, đáp án đúng là \( A.~(2, -1, 3) \). Câu 4: Để tìm khoảng cách giữa hai điểm \( I(3;5;-7) \) và \( K(-5;5;-1) \) trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Với \( I(3;5;-7) \) và \( K(-5;5;-1) \), ta có: - \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \), \( z_1 = -7 \) - \( x_2 = -5 \), \( y_2 = 5 \), \( z_2 = -1 \) Thay các giá trị này vào công thức, ta được: \[ d = \sqrt{((-5) - 3)^2 + (5 - 5)^2 + ((-1) - (-7))^2} \] \[ = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 6^2} \] \[ = \sqrt{64 + 0 + 36} \] \[ = \sqrt{100} \] \[ = 10 \] Vậy, khoảng cách giữa hai điểm \( I \) và \( K \) là 10. Do đó, đáp án đúng là C. 10. Câu 5: Để tìm tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó: - $|\overrightarrow{u}| = 2$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{u}$. - $|\overrightarrow{v}| = 3$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{v}$. - $\theta = 60^\circ$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Ta có $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Thay các giá trị vào công thức, ta được: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 \] Vậy, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3$. Do đó, đáp án đúng là A. 3. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: a) Tọa độ của ra đa Ra đa được đặt trên đỉnh tháp cao 80 m (tức là 0,08 km) so với mặt đất. Do đó, tọa độ của ra đa là \((0; 0; 0,08)\). b) Tọa độ của vị trí A Máy bay cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp, và cách mặt đất 10 km. Do đó, tọa độ của máy bay A là \((300; -200; 10)\). c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của ra đa \((0; 0; 0,08)\) và máy bay \((300; -200; 10)\) vào công thức: \[ d = \sqrt{(300 - 0)^2 + (-200 - 0)^2 + (10 - 0,08)^2} \] \[ d = \sqrt{300^2 + (-200)^2 + (9,92)^2} \] \[ d = \sqrt{90000 + 40000 + 98,4064} \] \[ d = \sqrt{130098,4064} \approx 360,69 \text{ km} \] d) Khả năng phát hiện của ra đa Phạm vi theo dõi của ra đa là 500 km. Vì khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km, nhỏ hơn 500 km, nên ra đa có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A. Kết luận a) Tọa độ của ra đa là \((0; 0; 0,08)\). b) Tọa độ của vị trí A là \((300; -200; 10)\). c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa là khoảng 360,69 km. d) Ra đa của trung tâm kiểm soát không lưu có thể phát hiện được máy bay tại vị trí A. Câu 1: Để tìm số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{AB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử hình lập phương \(ABCD - A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(a, 0, 0)\) - \(D(0, a, 0)\) - \(A'(0, 0, a)\) - \(D'(0, a, a)\) - \(C'(a, a, a)\) 2. Tìm tọa độ của điểm \(M\) và \(N\): - \(M\) là trung điểm của \(A'D'\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, a\right) \] - \(N\) là trung điểm của \(C'D'\), nên tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{a + a}{2}, \frac{a + a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, a\right) \] 3. Tính vectơ \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{a}{2} - 0, a - \frac{a}{2}, a - a\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] 4. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) \] 5. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{AB}\): Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức: \[ \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{MN}\| \cdot \|\overrightarrow{AB}\|} \] - Tích vô hướng \(\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{a}{2} \cdot a + \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot 0 = \frac{a^2}{2} \] - Độ dài của \(\overrightarrow{MN}\): \[ \|\overrightarrow{MN}\| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] - Độ dài của \(\overrightarrow{AB}\): \[ \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{a^2 + 0^2 + 0^2} = a \] - Tính \(\cos \varphi\): \[ \cos \varphi = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] - Suy ra \(\varphi = 45^\circ\). Vậy số đo của góc \(\varphi\) là \(45^\circ\). Câu 2: Để tìm số đo của góc \(\widehat{ABC}\), ta cần tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Bước 1: Tính các vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\). - Vectơ \(\overrightarrow{BA}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BA} = A - B = (1 - 1, 3 - 1, 5 - 3) = (0, 2, 2) \] - Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (4 - 1, -2 - 1, 3 - 3) = (3, -3, 0) \] Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\). - Tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (0 \cdot 3) + (2 \cdot -3) + (2 \cdot 0) = 0 - 6 + 0 = -6 \] Bước 3: Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\). - Độ dài của \(\overrightarrow{BA}\): \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] - Độ dài của \(\overrightarrow{BC}\): \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Bước 4: Tính cosin của góc \(\widehat{ABC}\). - Sử dụng công thức tích vô hướng: \[ \cos \widehat{ABC} = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-6}{(2\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2})} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm số đo góc \(\widehat{ABC}\). - Vì \(\cos \widehat{ABC} = -\frac{1}{2}\), nên góc \(\widehat{ABC}\) là \(120^\circ\). Vậy số đo của góc \(\widehat{ABC}\) là \(120^\circ\).