Giupnmi vs

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tính đạo hàm \( V'(t) \) Biểu thức thể tích xăng theo thời gian là: \[ V(t) = 300(t^2 - t^3) + 4,5 \] Để tìm tốc độ tăng thể tích, chúng ta cần tính đạo hàm của \( V(t) \) theo \( t \): \[ V'(t) = \frac{d}{dt}[300(t^2 - t^3) + 4,5] \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ V'(t) = 300 \cdot \frac{d}{dt}(t^2 - t^3) \] Tính đạo hàm của \( t^2 - t^3 \): \[ \frac{d}{dt}(t^2 - t^3) = 2t - 3t^2 \] Do đó: \[ V'(t) = 300(2t - 3t^2) \] b) Lượng xăng ban đầu trong bình Lượng xăng ban đầu trong bình là giá trị của \( V(t) \) tại \( t = 0 \): \[ V(0) = 300(0^2 - 0^3) + 4,5 = 4,5 \text{ lít} \] Theo đề bài, lượng xăng ban đầu là 1,5 lít. Điều này có nghĩa là lượng xăng bơm thêm vào là: \[ 4,5 - 1,5 = 3 \text{ lít} \] c) Tốc độ tăng thể tích lớn nhất Để tìm thời điểm tốc độ tăng thể tích lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( V'(t) \) trong khoảng \( 0 \leq t \leq 0,5 \). Xét đạo hàm của \( V'(t) \): \[ V'(t) = 300(2t - 3t^2) \] Đặt \( f(t) = 2t - 3t^2 \), ta có: \[ f'(t) = 2 - 6t \] Giải phương trình \( f'(t) = 0 \): \[ 2 - 6t = 0 \] \[ t = \frac{1}{3} \] Kiểm tra giá trị của \( f(t) \) tại các điểm \( t = 0 \), \( t = \frac{1}{3} \), và \( t = 0,5 \): - \( f(0) = 0 \) - \( f\left(\frac{1}{3}\right) = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 3\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \) - \( f(0,5) = 2(0,5) - 3(0,5)^2 = 1 - 0,75 = 0,25 \) Giá trị lớn nhất của \( f(t) \) là \( \frac{1}{3} \) tại \( t = \frac{1}{3} \). Do đó, tốc độ tăng thể tích lớn nhất là: \[ V'\left(\frac{1}{3}\right) = 300 \times \frac{1}{3} = 100 \text{ lít/phút} \] d) Số tiền người mua phải trả Sau khi bơm 30 giây (tức là \( t = 0,5 \) phút), thể tích xăng trong bình là: \[ V(0,5) = 300(0,5^2 - 0,5^3) + 4,5 \] \[ = 300(0,25 - 0,125) + 4,5 \] \[ = 300 \times 0,125 + 4,5 \] \[ = 37,5 + 4,5 = 42 \text{ lít} \] Lượng xăng bơm thêm vào là: \[ 42 - 1,5 = 40,5 \text{ lít} \] Số tiền người mua phải trả là: \[ 40,5 \times 21.000 = 850.500 \text{ đồng} \] Tuy nhiên, đề bài cho rằng số tiền là 787.500 đồng, có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc trong tính toán. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi này, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Các vectơ \(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{HD}\) đồng phẳng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Do đó, hai vectơ này chắc chắn đồng phẳng. Để chứng minh \(\overrightarrow{HD}\) cũng đồng phẳng với hai vectơ trên, ta cần chỉ ra rằng \(\overrightarrow{HD}\) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Vì \(H\) là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng chứa \(ABCD\), nên \(\overrightarrow{HD}\) có thể được biểu diễn dưới dạng: \[ \overrightarrow{HD} = x\overrightarrow{AD} + y\overrightarrow{BC} \] Vì \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), ta có thể viết: \[ \overrightarrow{HD} = (x+y)\overrightarrow{AD} \] Do đó, \(\overrightarrow{HD}\) đồng phẳng với \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\). b) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) - \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{MD}\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Ta có: \[ \overrightarrow{SM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) \] Do đó: \[ \frac{1}{2}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB}) - \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{SM} - \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{MD} \] c) \(|\overrightarrow{SA}| = a\sqrt{2}\) Vì tam giác \(ASB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và \(AB = a\), ta có: \[ |\overrightarrow{SA}| = |\overrightarrow{SB}| = a\sqrt{2} \] d) \(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{BS} = -\frac{a^2}{2}\) Vì \(ABCD\) là hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} \] Với \(\overrightarrow{BS} = \overrightarrow{SB}\), và \(|\overrightarrow{SB}| = a\sqrt{2}\), ta có: \[ \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{BS} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SB} \] Vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{SB}\) vuông góc, nên: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{SB} = 0 \] Tuy nhiên, nếu có một sai sót trong đề bài, ta cần kiểm tra lại các điều kiện để đảm bảo tính chính xác của kết quả. Nếu có thêm thông tin hoặc điều kiện, ta có thể điều chỉnh lại cách giải. Vậy, các kết quả đã được chứng minh và giải thích chi tiết. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): $\overline{IA} = (-2-x; 3-y; 1-z)$ - Véc-tơ $\overline{IA}$ được xác định bằng cách lấy tọa độ điểm $A$ trừ đi tọa độ điểm $I$. Do đó, $\overline{IA} = (x - (-2); y - 3; z - 1) = (x + 2; y - 3; z - 1)$. - Khẳng định a) cho rằng $\overline{IA} = (-2-x; 3-y; 1-z)$, điều này không đúng vì $\overline{IA}$ phải là $(x + 2; y - 3; z - 1)$. Khẳng định b): Điểm $I$ có tung độ bằng -1. - Theo đề bài, điểm $I(x;y;z)$ thỏa mãn hệ thức $\overline{IA} + \overline{IB} + \overline{IC} + 2\overline{ID} = 0$. - Tính từng véc-tơ: - $\overline{IA} = (x + 2; y - 3; z - 1)$ - $\overline{IB} = (x - 2; y - 1; z - 0) = (x - 2; y - 1; z)$ - $\overline{IC} = (x + 3; y + 1; z - 1)$ - $\overline{ID} = (x - 1; y - 1; z - 1)$ - Thay vào hệ thức: \[ (x + 2; y - 3; z - 1) + (x - 2; y - 1; z) + (x + 3; y + 1; z - 1) + 2(x - 1; y - 1; z - 1) = (0; 0; 0) \] - Tách thành từng thành phần: - Thành phần $x$: $x + 2 + x - 2 + x + 3 + 2x - 2 = 0 \Rightarrow 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$ - Thành phần $y$: $y - 3 + y - 1 + y + 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow 5y - 5 = 0 \Rightarrow y = 1$ - Thành phần $z$: $z - 1 + z + z - 1 + 2z - 2 = 0 \Rightarrow 5z - 4 = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{5}$ - Vậy tọa độ điểm $I$ là $\left(-\frac{1}{5}; 1; \frac{4}{5}\right)$, do đó tung độ $y = 1$, không phải -1. Khẳng định b) là sai. Khẳng định c): Hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt phẳng $(Oz)$ là điểm $A^\prime(0;3;0)$. - Hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng $(Oz)$ giữ nguyên tọa độ $z$ và $x$, nhưng $y$ sẽ bằng 0. - Điểm $A(-2;3;1)$ có hình chiếu trên mặt phẳng $(Oz)$ là $A^\prime(-2;0;1)$. - Khẳng định c) cho rằng $A^\prime(0;3;0)$, điều này không đúng. Khẳng định c) là sai. Tóm lại, cả ba khẳng định đều sai.