Giul mik vs

Câu 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x \) trên đoạn \([0; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (x^2 - 5x + 7)e^x \right] \] Sử dụng quy tắc nhân: \[ f'(x) = (x^2 - 5x + 7)'e^x + (x^2 - 5x + 7)(e^x)' \] \[ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x \] \[ f'(x) = e^x \left[ (2x - 5) + (x^2 - 5x + 7) \right] \] \[ f'(x) = e^x \left[ x^2 - 3x + 2 \right] \] 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ e^x (x^2 - 3x + 2) = 0 \] Vì \( e^x > 0 \) luôn đúng, nên: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([0; 2]\): - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 7)e^0 = 7 \cdot 1 = 7 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = (1^2 - 5 \cdot 1 + 7)e^1 = (1 - 5 + 7)e^1 = 3e \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = (2^2 - 5 \cdot 2 + 7)e^2 = (4 - 10 + 7)e^2 = 1e^2 = e^2 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(0) = 7 \) - \( f(1) = 3e \approx 3 \times 2.718 \approx 8.154 \) - \( f(2) = e^2 \approx 2.718^2 \approx 7.389 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( 7 \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x \) trên đoạn \([0; 2]\) là \( 7 \), đạt được khi \( x = 0 \). Câu 2: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-10x^2 + 31x - 11}{3 - 5x} \), ta thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số. Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: \[ -10x^2 + 31x - 11 \quad \text{cho} \quad 3 - 5x. \] Ta viết lại mẫu số dưới dạng \( -5x + 3 \). Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} -10x^2 + 31x - 11 & -5x + 3 \\ \hline -10x^2 + 6x & 2x + 5 \\ \hline 25x - 11 & \\ 25x - 15 & \\ \hline 4 & \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{-10x^2 + 31x - 11}{3 - 5x} = 2x + 5 + \frac{4}{3 - 5x}. \] Bước 2: Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần \(\frac{4}{3 - 5x}\) tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 2x + 5. \] Bước 3: Xác định các hệ số \( a \) và \( b \): So sánh với \( y = ax + b \), ta có: \[ a = 2 \quad \text{và} \quad b = 5. \] Bước 4: Tính \( 3a - b \): \[ 3a - b = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1. \] Vậy, giá trị của \( 3a - b \) là: \[ \boxed{1}. \] Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí của hai máy bay trong không gian ba chiều và tìm vị trí của chiến sĩ sao cho tổng khoảng cách từ chiến sĩ đến hai máy bay là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định tọa độ của hai máy bay - Máy bay thứ nhất có tọa độ: \[ (x_1, y_1, z_1) = (1, -3, 1) \] (vì 3 km về phía Nam là -3 trên trục y, 1 km về phía Đông là 1 trên trục x, và 1000 m = 1 km trên trục z). - Máy bay thứ hai có tọa độ: \[ (x_2, y_2, z_2) = (-1, 2, 0.5) \] (vì 2 km về phía Bắc là 2 trên trục y, 1 km về phía Tây là -1 trên trục x, và 500 m = 0.5 km trên trục z). Bước 2: Xác định vị trí của chiến sĩ Gọi vị trí của chiến sĩ trên mặt đất là \( (x, y, 0) \). Tổng khoảng cách từ chiến sĩ đến hai máy bay là: \[ d = \sqrt{(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + 1^2} + \sqrt{(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 0.5^2} \] Để tổng khoảng cách này nhỏ nhất, chiến sĩ phải nằm trên đường thẳng nối hai máy bay trong không gian ba chiều. Do chiến sĩ đứng trên mặt đất (z = 0), ta cần tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng nối hai máy bay xuống mặt đất. Bước 3: Tìm hình chiếu của điểm trên đường thẳng nối hai máy bay Phương trình tham số của đường thẳng nối hai máy bay là: \[ (x, y, z) = (1, -3, 1) + t(-2, 5, -0.5) \] Hình chiếu của điểm trên mặt đất có z = 0, do đó: \[ 1 - 0.5t = 0 \implies t = 2 \] Thay \( t = 2 \) vào phương trình tham số: \[ (x, y, z) = (1, -3, 1) + 2(-2, 5, -0.5) = (1 - 4, -3 + 10, 1 - 1) = (-3, 7, 0) \] Bước 4: Tính khoảng cách từ chiến sĩ đến điểm xuất phát Khoảng cách từ chiến sĩ đến điểm xuất phát (0, 0, 0) là: \[ \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ \sqrt{58} \approx 7.62 \text{ km} \] Vậy, khoảng cách từ chiến sĩ đến điểm xuất phát của hai máy bay là khoảng \( 7.62 \) km. Câu 4: Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần xác định các giá trị tứ phân vị thứ nhất (Q1) và tứ phân vị thứ ba (Q3). Sau đó, khoảng tứ phân vị sẽ là hiệu của Q3 và Q1. Bước 1: Tính tứ phân vị thứ nhất (Q1) Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị mà 25% số liệu nằm dưới nó. Với 100 quả xoài, Q1 sẽ là quả xoài thứ 25. Dựa vào bảng số liệu: - [250; 290): 30 quả - [290; 330): 20 quả - [330; 370): 18 quả - [370; 410): 16 quả - [410; 450): 10 quả - [450; 490): 6 quả Quả xoài thứ 25 nằm trong khoảng [250; 290) vì 30 quả đầu tiên đã nằm trong khoảng này. Do đó, Q1 thuộc khoảng [250; 290). Bước 2: Tính tứ phân vị thứ ba (Q3) Tứ phân vị thứ ba (Q3) là giá trị mà 75% số liệu nằm dưới nó. Với 100 quả xoài, Q3 sẽ là quả xoài thứ 75. Tính tổng số quả xoài đến từng khoảng: - [250; 290): 30 quả - [290; 330): 30 + 20 = 50 quả - [330; 370): 50 + 18 = 68 quả - [370; 410): 68 + 16 = 84 quả Quả xoài thứ 75 nằm trong khoảng [370; 410) vì 68 quả đầu tiên nằm trong các khoảng trước đó và quả thứ 75 nằm trong khoảng này. Do đó, Q3 thuộc khoảng [370; 410). Bước 3: Tính khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1. Vì Q1 thuộc khoảng [250; 290) và Q3 thuộc khoảng [370; 410), ta có thể chọn giá trị trung bình của các khoảng này để tính toán: - Trung bình của [250; 290) là \(\frac{250 + 290}{2} = 270\). - Trung bình của [370; 410) là \(\frac{370 + 410}{2} = 390\). Khoảng tứ phân vị = 390 - 270 = 120. Bước 4: Biểu diễn dưới dạng phân số tối giản Khoảng tứ phân vị là 120, có thể viết dưới dạng phân số \(\frac{120}{1}\). Vậy \(a = 120\) và \(b = 1\), do đó \(T = a + b = 120 + 1 = 121\). Giá trị của biểu thức \(T\) là 121. Câu 1: Phần a) Ta có: \[ y' = 2x^2 - 5x + 2 \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này, ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 2 \). Tính biệt thức \( \Delta \): \[ \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 \] Do \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm thực: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \] Vậy các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2 \] \[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \] Tiếp theo, ta kiểm tra dấu của \( y' \) để xác định tính chất của các điểm này. - Khi \( x < \frac{1}{2} \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0)^2 - 5(0) + 2 = 2 > 0 \] - Khi \( \frac{1}{2} < x < 2 \), chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 < 0 \] - Khi \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = 2(3)^2 - 5(3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 > 0 \] Như vậy, \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = \frac{1}{2} \) và từ âm sang dương tại \( x = 2 \). Do đó, \( x = \frac{1}{2} \) là điểm cực đại và \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 12 \] \[ = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} + 1 - 12 \] \[ = \frac{1}{12} - \frac{5}{8} + 1 - 12 \] \[ = \frac{1}{12} - \frac{15}{24} + \frac{24}{24} - \frac{288}{24} \] \[ = \frac{2 - 15 + 24 - 288}{24} \] \[ = \frac{-277}{24} \] \[ y(2) = \frac{2}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 2(2) - 12 \] \[ = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 + 4 - 12 \] \[ = \frac{16}{3} - 10 + 4 - 12 \] \[ = \frac{16}{3} - 18 \] \[ = \frac{16 - 54}{3} \] \[ = \frac{-38}{3} \] Vậy các điểm cực trị của hàm số là: - Điểm cực đại tại \( x = \frac{1}{2} \) với giá trị \( y = \frac{-277}{24} \) - Điểm cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = \frac{-38}{3} \) Phần b) Xét hàm số \( y = \frac{\cos 2x - 4 \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) + 5}{4 \cos^2 \frac{x}{2}} \) trên đoạn \([- \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]\). Điều kiện xác định: \[ \cos \frac{x}{2} \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq \pi + 2k\pi \] Trên đoạn \([- \frac{\pi}{4}; \frac{2\pi}{3}]\), điều kiện này luôn thỏa mãn. Rút gọn biểu thức: \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = -\cos x \] \[ y = \frac{\cos 2x + 4 \cos x + 5}{4 \cos^2 \frac{x}{2}} \] Sử dụng công thức hạ bậc: \[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \] \[ y = \frac{\cos 2x + 4 \cos x + 5}{2(1 + \cos x)} \] Biến đổi tiếp: \[ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 \] \[ y = \frac{2 \cos^2 x - 1 + 4 \cos x + 5}{2(1 + \cos x)} \] \[ y = \frac{2 \cos^2 x + 4 \cos x + 4}{2(1 + \cos x)} \] \[ y = \frac{2(\cos^2 x + 2 \cos x + 2)}{2(1 + \cos x)} \] \[ y = \frac{\cos^2 x + 2 \cos x + 2}{1 + \cos x} \] Đặt \( t = \cos x \), ta có \( t \in [-1; 1] \): \[ y = \frac{t^2 + 2t + 2}{1 + t} \] Xét hàm số \( f(t) = \frac{t^2 + 2t + 2}{1 + t} \) trên đoạn \([-1; 1]\): \[ f'(t) = \frac{(2t + 2)(1 + t) - (t^2 + 2t + 2)}{(1 + t)^2} \] \[ f'(t) = \frac{2t + 2 + 2t^2 + 2t - t^2 - 2t - 2}{(1 + t)^2} \] \[ f'(t) = \frac{t^2 + 2t}{(1 + t)^2} \] \[ f'(t) = \frac{t(t + 2)}{(1 + t)^2} \] Giải phương trình \( f'(t) = 0 \): \[ t(t + 2) = 0 \] \[ t = 0 \text{ hoặc } t = -2 \] Trên đoạn \([-1; 1]\), ta có \( t = 0 \). Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: \[ f(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 2}{1 + (-1)} = \frac{1 - 2 + 2}{0} \text{ (không xác định)} \] \[ f(0) = \frac{0^2 + 2(0) + 2}{1 + 0} = 2 \] \[ f(1) = \frac{1^2 + 2(1) + 2}{1 + 1} = \frac{1 + 2 + 2}{2} = \frac{5}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 2 \) và giá trị lớn nhất là \( \frac{5}{2} \). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của đường thẳng d: Đường thẳng d là kè đá đã được xây dựng để tránh sạt lở đất. Thông thường, phương trình của một đường thẳng có dạng \( y = ax + b \). Tuy nhiên, để xác định chính xác phương trình này, chúng ta cần biết ít nhất hai điểm thuộc đường thẳng hoặc một điểm và hệ số góc của nó. 2. Xác định phương trình của đồ thị (C): Đồ thị (C) là một hàm số bậc ba, có dạng tổng quát là \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). Để xác định phương trình này, chúng ta cần biết ít nhất bốn điểm thuộc đồ thị hoặc các điều kiện đặc biệt như điểm cực trị, điểm uốn, hoặc giá trị của hàm số tại một số điểm cụ thể. 3. Tìm giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C): Để tìm giao điểm, chúng ta cần giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng d và phương trình của đồ thị (C). Giao điểm là nghiệm của hệ phương trình này. 4. Phân tích hình học: Sau khi tìm được giao điểm, chúng ta có thể phân tích hình học của bài toán, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng d đến đồ thị (C), diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đồ thị, hoặc các bài toán liên quan đến tối ưu hóa như tìm điểm gần nhất hoặc xa nhất giữa đường thẳng và đồ thị. 5. Kiểm tra điều kiện xác định: Đảm bảo rằng các giá trị tìm được thỏa mãn điều kiện xác định của bài toán, chẳng hạn như không có giá trị nào nằm ngoài miền xác định của hàm số hoặc không vi phạm các điều kiện thực tế của bài toán. Nếu có thêm thông tin cụ thể về các điểm hoặc điều kiện của đường thẳng d và đồ thị (C), chúng ta có thể tiếp tục giải chi tiết hơn.