giải đề cương

Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các thông tin về tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax+1}{bx-2} \). 1. Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của phân thức bằng 0, tức là \( bx - 2 = 0 \). Theo đề bài, tiệm cận đứng là \( x = 2 \), do đó: \[ b \cdot 2 - 2 = 0 \implies 2b = 2 \implies b = 1. \] 2. Tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang của hàm số dạng phân thức \( \frac{ax+1}{bx-2} \) được xác định bởi tỉ số của các hệ số của \( x \) trong tử số và mẫu số khi \( x \to \infty \). Theo đề bài, tiệm cận ngang là \( y = 3 \), do đó: \[ \frac{a}{b} = 3. \] Vì \( b = 1 \), ta có: \[ a = 3 \cdot 1 = 3. \] 3. Tính hiệu \( a - 2b \): \[ a - 2b = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1. \] Vậy, hiệu \( a - 2b \) có giá trị là 1. Do đó, đáp án đúng là C. 1. Câu 6: Để xác định đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số đã cho, ta cần phân tích các đặc điểm của đồ thị: 1. Dạng đồ thị: - Đồ thị có dạng một đường cong bậc ba, với một điểm cực tiểu và một điểm cực đại. 2. Hướng của đồ thị: - Đồ thị đi từ góc phần tư thứ ba lên góc phần tư thứ nhất, cho thấy hệ số của \(x^3\) là âm. 3. Xét các hàm số: - \(A.~y = x^3 - 3x^2 + 2\): Hệ số của \(x^3\) là dương, không phù hợp. - \(B.~y = -x^3 + 3x + 2\): Hệ số của \(x^3\) là âm, có thể phù hợp. - \(\textcircled{C.}~y = -x^3 + 3x^2 - 2\): Hệ số của \(x^3\) là âm, có thể phù hợp. - \(D.~y = x^3 - 3x + 2\): Hệ số của \(x^3\) là dương, không phù hợp. 4. Xét điểm cắt trục tung: - Đồ thị cắt trục tung tại \(y = -2\). 5. Kết luận: - Hàm số \(\textcircled{C.}~y = -x^3 + 3x^2 - 2\) cắt trục tung tại \(y = -2\), phù hợp với đồ thị đã cho. Vậy, đồ thị trong hình là của hàm số \(\textcircled{C.}~y = -x^3 + 3x^2 - 2\). Câu 7: Để tìm số giá trị nguyên của \( m \) để phương trình \( f(x) = m \) có nghiệm duy nhất, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số \( y = f(x) \). 1. Xét bảng biến thiên: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -5 \). - Khi \( x = 0 \), \( f(x) = 2 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 1 \). 2. Tính chất của hàm số: - Hàm số đồng biến trên khoảng \((- \infty, 0)\). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, +\infty)\). 3. Xác định các giá trị của \( m \): - Trên khoảng \((- \infty, 0)\), \( f(x) \) tăng từ \(-5\) đến \(2\). - Trên khoảng \((0, +\infty)\), \( f(x) \) giảm từ \(2\) đến \(1\). 4. Giá trị nguyên của \( m \): - Trên khoảng \((-5, 2)\), các giá trị nguyên là \(-4, -3, -2, -1, 0, 1\). - Trên khoảng \((1, 2)\), giá trị nguyên là \(2\). 5. Tổng hợp các giá trị nguyên: - Các giá trị nguyên của \( m \) để phương trình \( f(x) = m \) có nghiệm duy nhất là \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\). Vậy, có tất cả 7 giá trị nguyên của \( m \) để phương trình \( f(x) = m \) có nghiệm duy nhất. Đáp án: A. 7. Câu 8: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần phân tích từng mệnh đề một cách chi tiết. 1. Mệnh đề A: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}\) Trong hình lập phương, các vector \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), và \(\overrightarrow{AA^\prime}\) lần lượt là các vector chỉ phương của các cạnh của hình lập phương. Khi cộng ba vector này lại, ta sẽ được vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\), vì \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là đường chéo không gian của hình lập phương, đi từ đỉnh A đến đỉnh đối diện C'. Do đó, mệnh đề này đúng. 2. Mệnh đề B: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) Vector \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo mặt phẳng của hình vuông ABCD. Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Do đó, mệnh đề này đúng. 3. Mệnh đề C: \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|\) Trong hình lập phương, tất cả các cạnh đều có độ dài bằng nhau. Do đó, \(|\overrightarrow{AB}|\) và \(|\overrightarrow{CD}|\) đều bằng cạnh của hình lập phương. Vì vậy, mệnh đề này đúng. 4. Mệnh đề D: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) Vector \(\overrightarrow{AB}\) và vector \(\overrightarrow{CD}\) có cùng độ dài nhưng ngược hướng nhau trong hình lập phương. \(\overrightarrow{AB}\) đi từ A đến B, trong khi \(\overrightarrow{CD}\) đi từ C đến D. Do đó, hai vector này không bằng nhau. Vì vậy, mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề D.