Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Question

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Accepted Answer

a) Ta có:

(ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2   (công thức khai triển đa thức)

= a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

b) Ta có:

(ac + bd)2 - (a2 + b2)(c2 + d2)

= a2c2 + 2abcd + b2d2 - a2c2 - b2d2 - a2d2 - b2c2

= 2abcd - a2d2 - b2c2

= d2(ab - d2) - b2(c2 - a2)

Vì d2, b2, c2 và a2 đều không âm nên ta có:

d2(ab - d2) ≤ abd2 ≤ (a2 + b2)d2

và

b2(c2 - a2) ≤ b2c2 ≤ (a2 + b2)c2

Do đó:

(ac + bd)2 - (a2 + b2)(c2 + d2) ≤ (a2 + b2)d2 - (a2 + b2)c2

= (a2 + b2)(d2 - c2)

Vì a2, b2, c2 và d2 đều không âm nên ta có:

(a2 + b2)(d2 - c2) ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức Bunhiacôpxki.