cho a,b>0 và a+b =2 .Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức A= căn(1+4a ) + căn(1 + 2023b )

Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Đặt x = căn(1+4a) và y = căn(1+2023b), ta có: x^2 - 1 = 4a và y^2 - 1 = 2023b Vì a + b = 2, ta có: 4a + 2023b = 4(2-b) + 2023b = 8049 - 4b Do đó, ta cần tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức A = x + y. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: (x^2 - 1)(1 + 2023) ≥ (x + y)^2 - 1 Tương tự, ta có: (y^2 - 1)(1 + 4) ≥ (x + y)^2 - 1 Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta được: [(x^2 - 1)(1 + 2023) + (y^2 - 1)(1 + 4)]/5 ≥ (x + y)^2 - 1 Sử dụng các công thức đã đặt ra ở trên, ta có: [(4a + 3)(1 + 2023) + (2023b + 3)(1 + 4)]/5 ≥ (x + y)^2 - 1 Simplifying the left-hand side and substituting a + b = 2, we get: (8089 - 4b)/5 ≥ (x + y)^2 - 1 Do đó, ta có: x + y ≤ căn[(8089 - 4b)/5 + 1] Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của b. Vì a + b = 2, ta có a ≤ 2 và b ≤ 2. Do đó, giá trị nhỏ nhất của b là 0, khi đó: A ≤ căn(8089/5 + 1) ≈ 90.98 Tương tự, để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần tìm giá trị lớn nhất của b. Vì a + b = 2, ta có a ≥ 0 và b ≥ 0. Do đó, giá trị lớn nhất của b là 2, khi đó: A ≥ căn(16171/5 + 1) ≈ 127.38 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là khoảng 127.38 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là khoảng 90.98.