Gọi P là một điểm nằm trên đoạn thẳng MN (P khác M, P khác N). Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MN, kẻ các tia Mx, Ny cùng vuông góc với MN. Trên tia Mx lấy điểm I (I khác M). Đường thẳng vuông...

1a/ Ta có: $\angle KPN = \angle KPI + \angle IPN = 90^\circ - \angle PIN + 90^\circ - \angle PNI = \angle PIN + \angle PNI = \angle PKN$. Do đó, tứ giác PQKN là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn. Tâm của đường tròn đó là trung điểm của đoạn thẳng PN. b/ Ta có: $\angle QNM = \angle QPM = 90^\circ$ (do $IP \perp PQ$ và $PQ$ là đường kính của đường tròn $(IPQ)$). Vậy tam giác $MNQ$ là tam giác vuông tại $Q$. 2/ Gọi $S_{MNKI}$ là diện tích của tứ giác $MNKI$. Ta có: $S_{MNKI} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KI \cdot \sin{\angle MNI}$ Do đó, để $S_{MNKI}$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm cách để $\sin{\angle MNI}$ đạt giá trị lớn nhất. Vì $\angle MNI$ là góc giữa hai đoạn thẳng $MI$ và $NI$, nên $\sin{\angle MNI}$ đạt giá trị lớn nhất khi $MI$ và $NI$ càng gần nhau càng tốt. Vậy, để tứ giác $MNKI$ có diện tích lớn nhất, ta cần chọn điểm $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.